5.2. Функция распределенияВ предыдущем n° мы ввели в рассмотрение ряд распределения как исчерпывающую характеристику (закон распределения) прерывной случайной величины. Однако эта характеристика не является универсальной; она существует только для прерывных случайных величин. Нетрудно убедиться, что для непрерывной случайной величины такой характеристики построить нельзя. Действительно, непрерывная случайная величина имеет бесчисленное множество возможных значений, сплошь заполняющих некоторый промежуток (так называемое «счетное множество»). Составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной. Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события
Функцию распределения Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения. Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1. Функция распределения 2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю: 3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину Рис. 5.2.1. Будем увеличивать Чтобы убедиться в том, что Аналогичным образом, неограниченно перемещая точку График функции распределения Рис. 5.2.2. Зная ряд распределения прерывной случайной величины, можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,
где неравенство Когда текущая переменная Пример 1. Производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие Решение. Ряд распределения величины Построим функцию распределения величины 1) при
2) при
3) при
График функции распределения представлен на рис. 5.2.3. В точках разрыва функция Рис. 5.2.3. Пример 2. В условиях предыдущего примера производится 4 независимых опыта. Построить функцию распределения числа появлений события Решение. Обозначим Построим функцию распределения случайной величины 1) при 2) при 3) при 4) при 5) при 6) при График функции распределения представлен на рис. 5.2.4. Рис. 5.2.4. Функция распределения любой прерывной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным случайным значениям величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними скачков становится больше, а сами скачки – меньше; ступенчатая кривая становится более плавной (рис. 5.2.5); случайна величина постепенно приближается к непрерывной величине, а её функция распределения – к непрерывной функции (рис. 5.2.6). Рис. 5.2.5. Рис. 5.2.6. На практике обычно функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию, непрерывную во всех точках, как это показано на рис. 5.2.6. Однако можно построить примеры случайных величин, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной, а в отдельных точках терпит разрыв (рис. 5.2.7). Рис. 5.2.7. Такие случайные величины называются смешанными. В качестве примера смешанной величины можно привести площадь разрушений, наносимых цели бомбой, радиус разрушительного действия которой равен R (рис. 5.2.8). Рис. 5.2.8. Значения этой случайной величины непрерывно заполняют промежуток от 0 до
|