5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участокПри решении практических задач, связанных со случайными величинами, часто оказывается необходимым вычислить вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в некоторых пределах, например, от Условимся для определенности левый конец
Выразим вероятность этого события через функцию распределения величины событие А, состоящее в том, что событие В, состоящее в том, что событие С, состоящее в том, что Учитывая, что
или
откуда
т.е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участке. Будем неограниченно уменьшать участок
Значение этого предела зависит от того, непрерывна ли функция В дальнейшем изложении мы условимся называть «непрерывными» только те случайные величины, функция распределения которых везде непрерывна. Имея это в виду, можно сформулировать следующее положение: Вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю. Остановимся на этом положении несколько подробнее. В данном курсе мы уже встречались с событиями, вероятности которых были равны нулю: это были невозможные события. Теперь мы видим, что обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные, но и возможные события. Действительно, событие Понятие о событии «возможном, но обладающем нулевой вероятностью» кажется на первый взгляд парадоксальным. В действительности оно не более парадоксально, чем представление о теле, имеющем определенную массу, тогда как ни одна из точек внутри тела определенной конечной массой не обладает. Сколь угодно малый объем, выделенный из тела, обладает определенной конечной массой; эта масса приближается к нулю по мере уменьшения объема и в пределе равна нулю до точки. Аналогично при непрерывном распределении вероятностей вероятность попадания на сколь угодно малый участок может быть отлична от нуля, тогда как вероятность попадания в строго определенную точку в точности равна нулю. Если производится опыт, в котором непрерывная случайная величина Из того, что событие Если событие В n° 5.1 мы познакомились с «механической» интерпретацией прерывной случайной величины как распределения единичной массы, сосредоточенной в нескольких изолированных точках на оси абсцисс. В случае непрерывной случайной величины механическая интерпретация сводится к распределению единичной массы не по отдельным точкам, а непрерывно по оси абсцисс, причем ни одна точка не обладает конечной массой.
|