5.4. Плотность распределенияПусть имеется непрерывная случайная величина
т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать
Введем обозначение:
Функция Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция Рис. 5.4.1. Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин. Рассмотрим непрерывную случайную величину Рис. 5.4.2. Выразим вероятность попадания величины
*) Так как вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю, то можно рассматривать здесь отрезок Геометрически вероятность попадания величины Рис. 5.4.3. Формула (5.4.2.) выражает плотность распределения через функцию распределения. Зададимся обратной задачей: выразить функцию распределения через плотность. По определению
откуда по формуле (5.4.3) имеем:
Геометрически Рис. 5.4.4. Укажем основные свойства плотности распределения. 1. Плотность распределения есть неотрицательная функция:
Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения 2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
Это следует из формулы (5.4.4) и из того, что Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что: 1) вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; 2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Выясним размерность основных характеристик случайной величины – функции распределения и плотности распределения. Функция распределения Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана выражением а) Найти коэффициент а. б) Найти плотность распределения в) Найти вероятность попадания величины Решение. а) Так как функция распределения величины б) Плотность распределения величины в) По формуле (5.3.1) имеем:
Пример 2. Случайная величина
а) Найти коэффициент а. б) Построить график плотности распределения в) Найти функцию распределения г) Найти вероятность попадания величины Решение. а) Для определения коэффициента а воспользуемся свойством плотности распределения:
откуда б) График плотности Рис. 5.4.5. в) По формуле (5.4.4) получаем выражение функции распределения: График функции Рис. 5.4.6. г) По формуле (5.3.1) имеем:
Тот же результат, но несколько более сложным путем, можно получить по формуле (5.4.3). Пример 3. Плотность распределения случайной величины
а) Построить график плотности б) Найти вероятность того, что величина Решение. а) График плотности дан на рис. 5.4.7. Рис. 5.4.7. б) По формуле (5.4.3) имеем:
|