Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин

При исследования вопросов, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, приходится иметь дело с законом распределения точек разрыва дистанционного снаряда в пространстве. При условии применения обычных дистанционных взрывателей этот закон распределения может считаться нормальным.

В данном  мы рассмотрим лишь каноническую форму нормального закона в пространстве:

,                                 (9.6.1)

где  - главные средние квадратические отклонения.

Переходя от средних квадратических отклонений к вероятным, имеем:

.                          (9.6.2)

При решении задач, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, иногда приходится вычислять вероятность разрыва дистанционного снаряда в пределах заданной области . В общем случае эта вероятность выряжается тройным интегралом:

.                             (9.6.3)

Интеграл (9.6.3) обычно не выражается через элементарные функции. Однако существует ряд областей, вероятность попадания в которые вычисляется сравнительно просто.

1. Вероятность попадания в прямоугольный параллелепипед со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

 

Пусть область  представляет собой прямоугольный параллелепипед, ограниченный абсциссами  ординатами  и аппликатами  (рис. 9.6.1). Вероятность попадания в область , очевидно, равна:

.    (9.6.4)

Рис. 9.6.1

 

2. Вероятность попадания в эллипсоид равной плотности

 

Рассмотрим эллипсоид равной плотности , уравнение которого

.

Полуоси этого эллипсоида пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям:

.

Пользуясь формулой (9.6.1) для , выразим вероятность попадания в эллипсоид :

.

Перейдем от декартовых координат к полярным (сферическим) заменой переменных

                                         (9.6.5)

Якобиан преобразования (9.6.5) равен:

.

Переходя к новым переменным, имеем:

.

Интегрируя по частям, получим:

.    (9.6.6)

 

3. Вероятность попадания в цилиндрическую область с образующей, параллельной одной из главных осей рассеивания

 

Рассмотрим цилиндрическую облает , образующая которой параллельна одной из главных осей рассеивания (например, оси ), а направляющая есть контур произвольной области  на плоскости  (рис. 9.6.2). Пусть область  ограничена двумя плоскостями  и . Вычислим вероятность попадания в область ; это есть вероятность произведения двух событий, первое из которых состоит в попадании точки  в область , а второе — в попадании величины  на участок . Так как величины , подчинены нормальному закону в канонической форме, независимы, то независимы и эти два события. Поэтому

                         (9.6.7)

Рис. 9.6.2.

Вероятность  в формуле (9.6.7) может быть вычислена любым из способов вычисления вероятности попадания в плоскую область.

На формуле (9.6.7) основан следующий способ вычисления вероятности попадания в пространственную область  произвольной формы: область  приближенно разбивается на ряд цилиндрических областей  (рис. 9.6.3), и вероятность попадания в каждую из них вычисляется по формуле (9.6.7). Для применения этого способа достаточно начертить ряд фигур, представляющих собой сечения области  плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей. Вероятность попадания в каждую из них вычисляется по сетке рассеивания.

Рис. 9.6.3.

В заключение данной главы напишем общее для нормального закона в пространстве любого числа измерения . Плотность распределения такого закона имеет вид:

,                        (9.6.8)

где  — определитель матрицы  — матрица, обратная корреляционной матрице , т.е. если корреляционная матрица

,

то

,

где  - определитель корреляционной матрицы, а  - минор этого определителя, получаемый из него вычеркиванием -й строки и -го столбца. Заметим, что

.

Из общего выражения (9.6.8) вытекают все формы нормального закона для любого числа измерений и для любых видов зависимости между случайными величинами. В частности, при  (рассеивание на плоскости) корреляционная матрица есть

.

где  - коэффициент корреляции. Отсюда

.

Подставляя определитель матрицы  и ее члены в (9.6.8), получим формулу (9.1.1) для нормального закона на плоскости, с которой мы начали  9.1.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>