9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин

При исследования вопросов, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, приходится иметь дело с законом распределения точек разрыва дистанционного снаряда в пространстве. При условии применения обычных дистанционных взрывателей этот закон распределения может считаться нормальным.

В данном мы рассмотрим лишь каноническую форму нормального закона в пространстве:

, (9.6.1)

где - главные средние квадратические отклонения.

Переходя от средних квадратических отклонений к вероятным, имеем:

. (9.6.2)

При решении задач, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, иногда приходится вычислять вероятность разрыва дистанционного снаряда в пределах заданной области . В общем случае эта вероятность выряжается тройным интегралом:

. (9.6.3)

Интеграл (9.6.3) обычно не выражается через элементарные функции. Однако существует ряд областей, вероятность попадания в которые вычисляется сравнительно просто.

1. Вероятность попадания в прямоугольный параллелепипед со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть область представляет собой прямоугольный параллелепипед, ограниченный абсциссами ординатами и аппликатами (рис. 9.6.1). Вероятность попадания в область , очевидно, равна:

. (9.6.4)

Рис. 9.6.1

2. Вероятность попадания в эллипсоид равной плотности

Рассмотрим эллипсоид равной плотности , уравнение которого

Полуоси этого эллипсоида пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям:

Пользуясь формулой (9.6.1) для , выразим вероятность попадания в эллипсоид :

Перейдем от декартовых координат к полярным (сферическим) заменой переменных

(9.6.5)

Якобиан преобразования (9.6.5) равен:

Переходя к новым переменным, имеем:

Интегрируя по частям, получим:

. (9.6.6)

3. Вероятность попадания в цилиндрическую область с образующей, параллельной одной из главных осей рассеивания

Рассмотрим цилиндрическую облает , образующая которой параллельна одной из главных осей рассеивания (например, оси ), а направляющая есть контур произвольной области на плоскости (рис. 9.6.2). Пусть область ограничена двумя плоскостями и . Вычислим вероятность попадания в область ; это есть вероятность произведения двух событий, первое из которых состоит в попадании точки в область , а второе — в попадании величины на участок . Так как величины , подчинены нормальному закону в канонической форме, независимы, то независимы и эти два события. Поэтому

(9.6.7)

Рис. 9.6.2.

Вероятность в формуле (9.6.7) может быть вычислена любым из способов вычисления вероятности попадания в плоскую область.

На формуле (9.6.7) основан следующий способ вычисления вероятности попадания в пространственную область произвольной формы: область приближенно разбивается на ряд цилиндрических областей (рис. 9.6.3), и вероятность попадания в каждую из них вычисляется по формуле (9.6.7). Для применения этого способа достаточно начертить ряд фигур, представляющих собой сечения области плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей. Вероятность попадания в каждую из них вычисляется по сетке рассеивания.

Рис. 9.6.3.

В заключение данной главы напишем общее для нормального закона в пространстве любого числа измерения . Плотность распределения такого закона имеет вид:

, (9.6.8)

где — определитель матрицы — матрица, обратная корреляционной матрице , т.е. если корреляционная матрица

то

где - определитель корреляционной матрицы, а - минор этого определителя, получаемый из него вычеркиванием -й строки и -го столбца. Заметим, что

Из общего выражения (9.6.8) вытекают все формы нормального закона для любого числа измерений и для любых видов зависимости между случайными величинами. В частности, при (рассеивание на плоскости) корреляционная матрица есть

где - коэффициент корреляции. Отсюда

Подставляя определитель матрицы и ее члены в (9.6.8), получим формулу (9.1.1) для нормального закона на плоскости, с которой мы начали 9.1.