ГЛАВА 10 ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции

При решении различных задач, связанных со случайными явлениями, современная теория вероятностей широко пользуется аппаратом случайных величин. Для того чтобы пользоваться этим аппаратом, необходимо знать законы распределения фигурирующих в задаче случайных величии. Вообще говоря, эти законы могут быть определены из опыта, но обычно опыт, целью которого является определение закона распределения случайной величины или системы случайных величин (особенно в области военной техники), оказывается и сложным и дорогостоящим. Естественно возникает задача - свести объем эксперимента к минимуму и составлять суждение о законах распределения случайных величин косвенным образом, на основании уже известных законов распределения других случайных величин. Такие косвенные методы исследования случайных величин играют весьма большую роль в теории вероятностей. При этом обычно интересующая нас случайная величина представляется как функция других случайных величин; зная законы распределения аргументов, часто удается установить закон распределения функции. С рядом задач такого типа мы встретимся в дальнейшем (см. главу 12).

Однако на практике часто встречаются случаи, когда нет особой надобности полностью определять закон распределения функции случайных величин, а достаточно только указать его числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, иногда - некоторые из высших моментов. К тому же очень часто самые законы распределения аргументов бывают известны недостаточно хорошо. В связи с этим часто возникает задача об определении только числовых характеристик функций случайных величин.

Рассмотрим такую задачу: случайная величина  есть функция нескольких случайных величин :

.

Пусть нам известен закон распределения системы аргументов ; требуется найти числовые характеристики величины , в первую очередь - математическое ожидание и дисперсию.

Представим себе, что нам удалось тем или иным способом найти закон распределения  величины . Тогда задача об определении числовых характеристик становится тривиальной; они находятся по формулам:

;

и т.д.

Однако самая задача нахождения закона распределения  величины  часто оказывается довольно сложной. К тому же для решения поставленной нами задачи нахождение закона распределения величины  как такового вовсе и не нужно: чтобы найти только числовые характеристики величины , нет надобности знать ее закон распределения; достаточно знать закон распределения аргументов . Более того, в некоторых случаях, для того чтобы найти числовые характеристики функции, не требуется даже знать закона распределения ее аргументов; достаточно бывает знать лишь некоторые числовые характеристики аргументов.

Таким образом, возникает задача определения числовых характеристик функций случайных величин помимо законов распределения этих функций.

Рассмотрим задачу об определении числовых характеристик функции при заданном законе распределения аргументов. Начнем с самого простого случая - функции одного аргумента - и поставим следующую задачу.

Имеется случайная величина  с заданным законом распределения; другая случайная величина  связана с  функциональной зависимостью:

.

Требуется, не находя закона распределения величины , определить ее математическое ожидание:

.                    (10.1.1)

Рассмотрим сначала случай, когда  есть прерывная случайная величина с рядом распределения:

 

Выпишем возможные значения величины  и вероятности этих значений:

(10.1.2)

Таблица (10.1.2) не является в строгом смысле слова рядом распределения величины , так как в общем случае некоторые из значений

                        (10.1.3)

могут совпадать между собой; к тому же эти значения в верхнем столбце таблицы (10.1.2) не обязательно идут в возрастающем порядке. Для того чтобы от таблицы (10.1.2) перейти к подлинному ряду распределения величины , нужно было бы расположить значения (10.1.3) в порядке возрастания, объединить столбцы, соответствующие равным между собой значениям , и сложить соответствующие вероятности. Но в данном случае нас не интересует закон распределения величины  как таковой; для наших целей - определения математического ожидания - достаточно такой «неупорядоченной» формы ряда распределения, как (10.1.2). Математическое ожидание величины  можно определить по формуле

                                 (10.1.4)

Очевидно, величина , определяемая по формуле (10.1.4), не может измениться от того, что под знаком суммы некоторые члены будут объединены заранее, а порядок членов изменен.

В формуле (10.1.4) для математического ожидания функции не содержится в явном виде закона распределения самой функции, а содержится только закон распределения аргумента. Таким образом, для определения математического ожидания функции вовсе не требуется знать закон распределения этой функции, а достаточно знать закон распределения аргумента.

Заменяя в формуле (10.1.4) сумму интегралом, а вероятность  - элементом вероятности, получим аналогичную формулу для непрерывной случайной величины:

.             (10.1.5)

где  - плотность распределения величины .

Аналогично может быть определено математическое ожидание функции  от двух случайных аргументов  и . Для прерывных величин

,                (10.1.6)

где  - вероятность того, что система  примет значения .

Для непрерывных величин

,                   (10.1.7)

где  - плотность распределения системы .

Совершенно аналогично определяется математическое ожидание функции от произвольного числа случайных аргументов. Приведем соответствующую формулу только для непрерывных величин:

,                    (10.1.8)

где  - плотность распределения системы .

Формулы типа (10.1.8) весьма часто встречаются в практическом применении теории вероятностей, когда речь идет об осреднении каких-либо величин, зависящих от ряда случайных аргументов.

Таким образом, математическое ожидание функции любого числа случайных аргументов может быть найдено помимо закона распределения функции. Аналогично могут быть найдены и другие числовые характеристики функции - моменты различных порядков. Так как каждый момент представляет собой математическое ожидание некоторой функции исследуемой случайной величины, то вычисление любого момента может быть осуществлено приемами, совершенно аналогичными вышеизложенным. Здесь мы приведем расчетные формулы только для дисперсии, причем лишь для случая непрерывных случайных аргументов.

Дисперсия функции одного случайного аргумента выражается формулой

,                       (10.1.9)

где  - математическое ожидание функции ;  - плотность распределения величины .

Аналогично выражается дисперсия функции двух аргументов:

,                 (10.1.10)

где  - математическое ожидание функции ;  - плотность распределения системы .

Наконец, в случае произвольного числа аргументов, в аналогичных обозначениях:

.                 (10.1.11)

Заметим, что часто при вычислении дисперсии бывает удобно пользоваться соотношением между начальным и центральным моментами второго порядка (см. главу 5) и писать:

;            (10.1.12)

;                  (10.1.13)

.                    (10.1.14)

Формулы (10.1.12) - (10.1.14) можно рекомендовать тогда, когда они не приводят к разностям близких чисел, т. е. когда  сравнительно невелико.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение изложенных выше методов для решения практических задач.

Пример 1. На плоскости задан отрезок длины  (рис. 10.1.1), вращающийся случайным образом так, что все направления его одинаково вероятны. Отрезок проектируется на неподвижную ось . Определить среднее значение длины проекции отрезка.

Рис. 10.1.1

Решение. Длина проекции равна:

,

где угол  - случайная величина, распределенная с равномерной плотностью на участке .

По формуле (10.1.5) имеем:

.

Пример 2. Удлиненный осколок снаряда, который можно схематически изобразить отрезком длины , летит, вращаясь вокруг центра массы таким образом, что все его ориентации в пространстве одинаково вероятны. На своем пути осколок встречает плоский экран, перпендикулярный к направлению его движения, и оставляет в нем пробоину. Найти математическое ожидание длины этой пробоины.

Решение. Прежде всего дадим математическую формулировку утверждения, заключающегося в том, что «все ориентации осколка в пространстве одинаково вероятны». Направление отрезка  будем характеризовать единичным вектором  (рис. 10.1.2).

Рис. 10.1.2

Направление вектора  в сферической системе координат, связанной с плоскостью , на которую производится проектирование, определяется двумя углами: углом , лежащим в плоскости , и углом , лежащим в плоскости, перпендикулярной к . При равной вероятности всех направлений вектора  все положения его конца на поверхности сферы единичного радиуса  должны обладать одинаковой плотностью вероятности; следовательно, элемент вероятности

,

где  - плотность распределения углов , должен быть пропорционален элементарной площадке  на сфере ; эта элементарная площадка равна

,

откуда

; ,

где  - коэффициент пропорциональности.

Значение коэффициента  найдем из соотношения

,

откуда

.

Таким образом, плотность распределения углов  выражается формулой

 при                     (10.1.15)

Спроектируем отрезок па плоскость ; длина проекции равна:

.

Рассматривая  как функцию двух аргументов  и  и применяя формулу (10.1.7), получим:

.

Таким образом, средняя длина пробоины, оставляемой осколком в экране, равна  длины осколка.

Пример 3. Плоская фигура площади  беспорядочно вращается в пространстве так, что все ориентации этой фигуры одинаково вероятны. Найти среднюю площадь проекции фигуры  на неподвижную плоскость  (рис. 10.1.3).

Рис. 10.1.3

Решение. Направление плоскости фигуры  в пространстве будем характеризовать направлением нормали  к этой плоскости. С плоскостью  свяжем ту же сферическую систему координат, что в предыдущем примере. Направление нормали  к площадке  характеризуется случайными углами  и  распределенными с плотностью (10.1.5). Площадь  проекции фигуры  на плоскость  равна

,

а средняя площадь проекции

.

Таким образом, средняя площадь проекции произвольно ориентированной плоской фигуры на неподвижную плоскость равна половине площади этой фигуры.

Пример 4. В процессе слежения радиолокатором за определенным объектом пятно, изображающее объект, все время удерживается в пределах экрана. Экран представляет собой круг  радиуса . Пятно занимает на экране случайное положение с постоянной плотностью вероятности. Найти среднее расстояние от пятна до центра экрана.

Решение. Обозначая расстояние , имеем , где  - координаты пятна;  в пределах круга  и равна нулю за его пределами. Применяя формулу (10.1.7) и переходя в интеграле к полярным координатам, имеем:

.

Пример 5. Надежность (вероятность безотказной работы) технического устройства есть определенная функция  трех параметров характеризующих работу регулятора. Параметры  представляют собой случайные величины с известной плотностью распределения  . Найти среднее значение (математическое ожидание) надежности устройства и среднее квадратическое отклонение, характеризующее ее устойчивость.

Решение. Надежность устройства  есть функция трех случайных величин (параметров) . Ее среднее значение (математическое ожидание) найдется по формуле (10.1.8):

.                (10.1.16)

По формуле (10.1.14) имеем:

,

.

Формула (10.1.16), выражающая среднюю (полную) вероятность безотказной работы устройства с учетом случайных величии, от которых зависит эта вероятность в каждом конкретном случае, предоставляет собой частный случай так называемой интегральной формулы полной вероятности, обобщающей обычную формулу полной вероятности на случай бесконечного (несчетного) числа гипотез.

Выведем здесь эту формулу в общем виде.

Предположим, что опыт, в котором может появиться или не появиться интересующее нас событие , протекает в случайных, заранее неизвестных условиях. Пусть эти условия характеризуются непрерывными случайными величинами

,                       (10.1.17)

плотность распределения которых

.

Вероятность  появления события  есть некоторая функция случайных величин (10.1.17):

.               (10.1.18)

Нам нужно найти среднее значение этой вероятности или, другими словами, полную вероятность события :

.

Применяя формулу (10.1.8) для математического ожидания функции, найдем:

.               (10.1.19)

Формула (10.1.19) называется интегральной формулой полной вероятности. Нетрудно заметить, что по своей структуре она сходна с формулой полной вероятности, если заменить дискретный ряд гипотез непрерывной гаммой, сумму - интегралом, вероятность гипотезы - элементом вероятности:

,

а условную вероятность события при данной гипотезе - условной вероятностью события при фиксированных значениях случайных величин:

.

Не менее часто, чем интегральной формулой полной вероятности пользуются интегральной формулой полного математического ожидания. Эта формула выражает среднее (полное) математическое ожидание случайной величины , значение которой принимается в опыте, условия которого заранее неизвестны (случайны). Если эти условия характеризуются непрерывными случайными величинами

с плотностью распределения

,

а математическое ожидание величины  есть функция от величин :

,

то полное математическое ожидание величины  вычисляется по формуле

,              (10.1.20)

которая называется интегральной формулой полного математического ожидания.

Пример 6. Математическое ожидание расстояния , на котором будет обнаружен объект с помощью четырех радиолокационных станций, зависит от некоторых технических параметров этих станций:

,

которые представляют собой независимые случайные величины с плотностью распределения

                                            .

При фиксированных значениях параметров  математическое ожидание дальности обнаружения равно

.

Найти среднее (полное) математическое ожидание дальности обнаружения.

Решение. По формуле (10.1.20) имеем:

.