15.3. Характеристики случайных функцийМы имели много случаев убедиться в том, какое большое значение в теории вероятностей имеют основные числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание и дисперсия - для одной случайной величины, математические ожидания и корреляционная матрица - для системы случайных величин. Искусство пользоваться числовыми характеристиками, оставляя по возможности в стороне законы распределения, - основа прикладной теории вероятностей. Аппарат числовых характеристик представляет собой весьма гибкий и мощный аппарат, позволяющий сравнительно просто решать многие практические задачи. Совершенно аналогичным аппаратом пользуются и в теории случайных функций. Для случайных функций также вводятся простейшие основные характеристики, аналогичные числовым характеристикам случайных величин, и устанавливаются правила действий с этими характеристиками. Такой аппарат оказывается достаточным для решения многих практических задач. В отличие от числовых характеристик случайных величин, предоставляющих собой определенные числа, характеристики случайных функций представляют собой в общем случае не числа, а функции. Математическое ожидание случайной функции
Таким образом, математическим ожиданием случайной функции По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции. На рис. 15.3.1 тонкими линиями показаны реализации случайной функции, жирной линией - ее математическое ожидание. Рис. 15.3.1. Аналогичным образом определяется дисперсия случайной функции. Дисперсией случайной функции
Дисперсия случайной функции при каждом Очевидно,
Математическое ожидание и дисперсия представляют собой весьма важные характеристики случайной функции; однако для описания основных особенностей случайной функции этих характеристик недостаточно. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим две случайные функции Рис. 15.3.2. Рис. 15.3.3. У случайных функций Очевидно, внутренняя структура обоих случайных процессов совершенно различна, но это различие не улавливается ни математическим ожиданием, ни дисперсией; для его описания необходимо вести специальную характеристику. Эта характеристика называется корреляционной функцией (иначе - автокорреляционной функцией). Корреляционная функция характеризует степень зависимости между сечениями случайной функции, относящимися к различным Пусть имеется случайная функция Рис. 15.3.4. Степень зависимости величин Таким образом, корреляционной функцией случайной функции
где
Вернемся к примерам случайных функций Выясним, во что обращается корреляционная функция
т. е. при Таким образом, необходимость в дисперсии как отдельной характеристике случайной функции отпадает: в качестве основных характеристик случайной функции достаточно рассматривать ее математическое ожидание и корреляционную функцию. Так как корреляционный момент двух случайных величин
Если изобразить корреляционную функцию Рис. 15.3.5. Заметим, что свойства корреляционной функции естественно вытекают из свойств корреляционной матрицы системы случайных величин. Действительно, заменим приближенно случайную функцию На практике, если требуется построить корреляционную функцию случайной функции Вместо корреляционной функции
которая представляет собой коэффициент корреляции величин
Выясним, как меняются основные характеристики случайной функции при элементарных операциях над нею: при прибавлении неслучайного слагаемого и при умножении на неслучайный множитель. Эти неслучайные слагаемые и множители могут быть как постоянными величинами, так в общем случае и функциями Прибавим к случайной функции
По теореме сложения математических ожиданий:
т. е. при прибавлении к случайной функции неслучайного слагаемого к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое. Определим корреляционную функцию случайной функции
т. е. от прибавления неслучайного слагаемого корреляционная функция случайной функции не меняется. Умножим случайную функцию
Вынося неслучайную величину
т. е. при умножении случайной функции на неслучайный множитель ее математическое ожидание умножается на тот же множитель. Определяем корреляционную функцию:
т. е. при умножении случайной функции на неслучайную функцию В частности, когда Пользуясь выведенными свойствами характеристик случайных функций, можно в ряде случаев значительно упростить операции с ними. В частности, когда требуется исследовать корреляционную функцию или дисперсию случайной функции, можно заранее перейти от нее к так называемой центрированной функции:
Математическое ожидание центрированной функции тождественно равно нулю, а ее корреляционная функция совпадает с корреляционной функцией случайной функции
При исследовании вопросов, связанных с корреляционными свойствами случайных функций, мы в дальнейшем всегда будем переходить от случайных функций к соответствующим центрированным функциям, отмечая это значком Иногда, кроме центрирования, применяется еще нормирование случайных функций. Нормированной называется случайная функция вида:
Корреляционная функция нормированной случайной функции
а ее дисперсия равна единице.
|