15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта

Пусть над случайной функцией  произведено  независимых опытов (наблюдений) и в результате получено  реализаций случайной функции (рис. 15.4.1).

Рис. 15.4.1.

Требуется найти оценки для характеристик случайной функции: ее математического ожидания , дисперсии  и корреляционной функции .

Для этого рассмотрим ряд сечений случайной функции для моментов времени

и зарегистрируем значения, принятые функцией  в эти моменты времени. Каждому из моментов  будет соответствовать  значений случайной функции.

Значения  обычно задаются равноотстоящими; величина интервала между соседними значениями выбирается в зависимости от вида экспериментальных кривых так, чтобы по выбранным точкам можно было восстановить основной ход кривых. Часто бывает так, что интервал между соседними значениями  задается независимо от задач обработки частотой работы регистрирующего прибора (например, темпом киноаппарата).

Зарегистрированные значения  заносятся в таблицу, каждая строка которой соответствует определенной реализации, а число столбцов равно числу опорных значений аргумента (табл. 15.4.1).

Таблица 15.4.1

В таблице 15.4.1 в -й строке помещены значения случайной функции, наблюденной в -й реализации (-м опыте) при значениях аргумента . Символом  обозначено значение, соответствующее -й реализации в момент .

Полученный материал представляет собой не что иное, как результаты  опытов над системой  случайных величин

,

и обрабатывается совершенно аналогично (см.  14.3). Прежде всего находятся оценки для математических ожиданий по формуле

,               (15.4.1)

затем - для дисперсий

                   (15.4.2)

и, наконец, для корреляционных моментов

.             (15.4.3)

В ряде случаев бывает удобно при вычислении оценок для дисперсий и корреляционных моментов воспользоваться связью между начальными и центральными моментами и вычислять их по формулам:

;              (15.4.4)

.             (15.4.5)

При пользовании последними вариантами формул, чтобы избежать разности близких чисел, рекомендуется заранее перенести начало отсчета по оси ординат поближе к математическому ожиданию.

После того, как эти характеристики вычислены, можно, пользуясь рядом значений , построить зависимость  (рис. 15.4.1). Аналогично строится зависимость . Функция двух аргументов  воспроизводится по ее значениям в прямоугольной сетке точек. В случае надобности все эти функции аппроксимируются какими-либо аналитическими выражениями.