15.7. Линейные преобразования случайных функций
Пусть на вход линейной системы с оператором
воздействует случайная функция
, причем известны ее характеристики: математическое ожидание
и корреляционная функция
. Реакция системы представляет собой случайную функцию
. (15.7.1)
Требуется найти характеристики случайной функции
на выходе системы:
и
. Короче: по характеристикам случайной функции на входе линейной системы найти характеристики случайной функции на выходе.
Покажем сначала, что можно ограничиться решением этой задачи только для однородного оператора
. Действительно, пусть оператор
неоднороден и выражается формулой
, (15.7.2)
где
- линейный однородный оператор,
- определенная неслучайная функция. Тогда
, (15.7.3)
т. е. функция
просто прибавляется к математическому ожиданию случайной функции на выходе линейной системы. Что же касается корреляционной функции, то, как известно, она не меняется от прибавления к случайной функции неслучайного слагаемого.
Поэтому в дальнейшем изложении под «линейными операторами» будем разуметь только линейные однородные операторы.
Решим задачу об определении характеристик на выходе линейной системы сначала для некоторых частных видов линейных операторов.