15.7. Линейные преобразования случайных функций

Пусть на вход линейной системы с оператором  воздействует случайная функция , причем известны ее характеристики: математическое ожидание  и корреляционная функция . Реакция системы представляет собой случайную функцию

.                     (15.7.1)

Требуется найти характеристики случайной функции  на выходе системы:  и . Короче: по характеристикам случайной функции на входе линейной системы найти характеристики случайной функции на выходе.

Покажем сначала, что можно ограничиться решением этой задачи только для однородного оператора . Действительно, пусть оператор  неоднороден и выражается формулой

,               (15.7.2)

где  - линейный однородный оператор,  - определенная неслучайная функция. Тогда

,                       (15.7.3)

т. е. функция  просто прибавляется к математическому ожиданию случайной функции на выходе линейной системы. Что же касается корреляционной функции, то, как известно, она не меняется от прибавления к случайной функции неслучайного слагаемого.

Поэтому в дальнейшем изложении под «линейными операторами» будем разуметь только линейные однородные операторы.

Решим задачу об определении характеристик на выходе линейной системы сначала для некоторых частных видов линейных операторов.