1. Интеграл от случайной функцииДана случайная функция
Требуется найти характеристики случайной функции Представим интеграл (15.7.4) как предел суммы:
и применим к равенству (15.7.5) операцию математического ожидания. По теореме сложения математических ожиданий имеем:
Итак,
т. е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Иными словами: операцию интегрирования и операцию математического ожидания можно менять местами. Это и естественно, так как операция интегрирования по своей природе не отличается от операции суммирования, которую, как мы раньше убедились, можно менять местами с операцией математического ожидания. Найдем корреляционную функцию
Нетрудно убедиться, что
По определению корреляционной функции,
где
Перемножим выражения (15.7.9):
Нетрудно убедиться, что произведение двух интегралов в правой части формулы (15.7.10) равно двойному интегралу
Действительно, в связи с тем, что подынтегральная функция в интеграле (15.7.11) распадается на два множителя, из которых первый зависит только от
Применяя к равенству (15.7.12) операцию математического оживления и меняя ее в правой части местами с операцией интегрирования, получим:
или окончательно:
Таким образом, для того чтобы найти корреляционную функцию интеграла от случайной функции, нужно дважды проинтегрировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем - по другому.
|