1. Интеграл от случайной функции

Дана случайная функция  с математическим ожиданием  и корреляционной функцией . Случайная функция  связана с  линейным однородным оператором интегрирования:

.                               (15.7.4)

Требуется найти характеристики случайной функции ,  и .

Представим интеграл (15.7.4) как предел суммы:

                        (15.7.5)

и применим к равенству (15.7.5) операцию математического ожидания. По теореме сложения математических ожиданий имеем:

.                (15.7.6)

Итак,

.               (15.7.7)

т. е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Иными словами: операцию интегрирования и операцию математического ожидания можно менять местами. Это и естественно, так как операция интегрирования по своей природе не отличается от операции суммирования, которую, как мы раньше убедились, можно менять местами с операцией математического ожидания.

Найдем корреляционную функцию . Для этого перейдем к центрированным случайным функциям:

,  .

Нетрудно убедиться, что

.                   (15.7.8)

По определению корреляционной функции,

,

где

;  .                      (15.7.9)

Перемножим выражения (15.7.9):

.                  (15.7.10)

Нетрудно убедиться, что произведение двух интегралов в правой части формулы (15.7.10) равно двойному интегралу

.                         (15.7.11)

Действительно, в связи с тем, что подынтегральная функция в интеграле (15.7.11) распадается на два множителя, из которых первый зависит только от , второй - только от , двойной интеграл (15.7.11) распадается на произведение двух однократных интегралов (15.7.10). Следовательно,

.                              (15.7.12)

Применяя к равенству (15.7.12) операцию математического оживления и меняя ее в правой части местами с операцией интегрирования, получим:

,

или окончательно:

.                       (15.7.13)

Таким образом, для того чтобы найти корреляционную функцию интеграла от случайной функции, нужно дважды проинтегрировать корреляционную функцию исходной случайной функции: сначала по одному аргументу, затем - по другому.