16.2. Каноническое разложение случайной функцииРассмотрим случайную функцию
где коэффициенты Найдем корреляционную функцию и дисперсию случайной функции По определению
где
В формуле (16.2.4) индекс суммирования обозначен буквой Перемножая выражения (16.2.3) и (16.2.4) и применяя к произведению операцию математического ожидания, получим:
где суммирование распространяется на все пары значений
где
где Подставляя эти значения в формулу (16.2.5), получим выражение для корреляционной функции случайной функции
Полагая в выражении (16.2.6)
Очевидно, выражения (16.2.6) и (16.2.7) приобретают особенно простой вид, когда все коэффициенты Таким образом, каноническим разложением случайной функции
где Если задано каноническое разложение случайной функции, то ее корреляционная функция
Выражение (16.2.9) называется каноническим разложением корреляционной функции. Полагая в формуле (16.2.9)
Таким образом, зная каноническое разложение случайной функции Число членов канонического разложения случайной функции может быть не только конечным, но и бесконечным. Примеры канонических разложений с бесконечным числом членов встретятся нам в главе 17. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом. Канонические разложения применяются не только для действительных, но и для комплексных случайных функций. Рассмотрим обобщение понятия канонического разложения на случай комплексной случайной функции. Элементарной комплексной случайной функцией называется функция вида:
где как случайная величина Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции (16.2.11). Пользуясь общим определением корреляционной функции комплексной случайной функции, имеем:
где чертой вверху, как и ранее, обозначена комплексная сопряженная величина. Имея в виду, что
и вынося неслучайные величины
Но, согласно
следовательно,
Каноническим разложением комплексной случайной функции называется ее представление в виде:
где Если комплексная случайная функция представлена каноническим разложением (16.2.14), то ее корреляционная функция выражается формулой
где
Формула (16.2.15) непосредственно следует из выражения (16.2.13) для корреляционной функции элементарной комплексной случайной функции. Выражение (16.2.15) называется каноническим разложением корреляционной функции комплексной случайной функции. Полагая в (16.2.15)
|