16.2. Каноническое разложение случайной функции

Рассмотрим случайную функцию , заданную разложением

,                 (16.2.1)

где коэффициенты  представляют собой систему случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю и с корреляционной матрицей .

Найдем корреляционную функцию и дисперсию случайной функции .

По определению

,                 (16.2.2)

где

,                  (16.2.3)

.              (16.2.4)

В формуле (16.2.4) индекс суммирования обозначен буквой , чтобы подчеркнуть его независимость от индекса суммирования  в формуле (16.2.3).

Перемножая выражения (16.2.3) и (16.2.4) и применяя к произведению операцию математического ожидания, получим:

,                       (16.2.5)

где суммирование распространяется на все пары значений  - как равные, так и неравные. В случае, когда ,

,

где  - дисперсия случайной величины . В случае, когда ,

,

где  - корреляционный момент случайных величин .

Подставляя эти значения в формулу (16.2.5), получим выражение для корреляционной функции случайной функции , заданной разложением (16.2.1):

.                               (16.2.6)

Полагая в выражении (16.2.6)  получим дисперсию случайной функции :

.                (16.2.7)

Очевидно, выражения (16.2.6) и (16.2.7) приобретают особенно простой вид, когда все коэффициенты  разложения (16.2.1) некоррелированны, т. е.  при . В этом случае разложение случайной функции называется «каноническим».

Таким образом, каноническим разложением случайной функции  называется ее представление в виде:

,                 (16.2.8)

где  - математическое ожидание случайной функции;  - координатные функции, а  - некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю.

Если задано каноническое разложение случайной функции, то ее корреляционная функция  выражается весьма просто. Полагая в формуле (16.2.6)  при , получим:

.               (16.2.9)

Выражение (16.2.9) называется каноническим разложением корреляционной функции.

Полагая в формуле (16.2.9)  получим дисперсию случайной функции

                  (16.2.10).

Таким образом, зная каноническое разложение случайной функции , можно сразу найти каноническое разложение ее корреляционной функции. Можно доказать, что обратное положение тоже справедливо, а именно: если задано каноническое разложение корреляционной функции (16.2.9), то для случайной функции  справедливо каноническое разложение вида (16.2.8) с координатными функциями  и коэффициентами  с дисперсиями . Мы примем это положение без специального доказательства.

Число членов канонического разложения случайной функции может быть не только конечным, но и бесконечным. Примеры канонических разложений с бесконечным числом членов встретятся нам в главе 17. Кроме того, в ряде случаев применяются так называемые интегральные канонические представления случайных функций, в которых сумма заменяется интегралом.

Канонические разложения применяются не только для действительных, но и для комплексных случайных функций. Рассмотрим обобщение понятия канонического разложения на случай комплексной случайной функции.

Элементарной комплексной случайной функцией называется функция вида:

,            (16.2.11)

где как случайная величина , так и функция  комплексны.

Определим корреляционную функцию элементарной случайной функции (16.2.11). Пользуясь общим определением корреляционной функции комплексной случайной функции, имеем:

,              (16.2.12)

где чертой вверху, как и ранее, обозначена комплексная сопряженная величина. Имея в виду, что

,

и вынося неслучайные величины  и  за знак математического ожидания, получим:

.

Но, согласно  15.9,  есть не что иное, как дисперсия комплексной случайной величины :

,

следовательно,

.                                   (16.2.13)

Каноническим разложением комплексной случайной функции называется ее представление в виде:

,                 (16.2.14)

где  - некоррелированные комплексные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, а ,  - комплексные неслучайные функции.

Если комплексная случайная функция представлена каноническим разложением (16.2.14), то ее корреляционная функция выражается формулой

,               (16.2.15)

где  - дисперсия величины :

.                                    (16.2.16)

Формула (16.2.15) непосредственно следует из выражения (16.2.13) для корреляционной функции элементарной комплексной случайной функции.

Выражение (16.2.15) называется каноническим разложением корреляционной функции комплексной случайной функции.

Полагая в (16.2.15) , получим выражение для дисперсии комплексной случайной функции, заданной разложением (16.2.14):

.                       (16.2.17)