16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениямиПусть на вход некоторой линейной системы Рис. 16.3.1. Система преобразует функцию
Предположим, что случайная функция
Определим реакцию системы на это воздействие. Так как оператор системы является линейным, то
Рассматривая выражение (16.3.3), легко убедиться, что оно представляет собой не что иное, как каноническое разложение случайной функции
и координатными функциями
Таким образом, при линейном преобразовании канонического разложения случайной функции Если случайная функция
то ее корреляционная функция и дисперсия находятся весьма просто:
Это делает особенно удобными именно канонические разложения по сравнению с любыми другими разложениями по элементарным функциям. Рассмотрим несколько подробнее применение метода канонических разложений к определению реакции динамической системы на случайное входное воздействие, когда работа системы описывается линейным дифференциальным уравнением, в общем случае - с переменными коэффициентами. Запишем это уравнение в операторной форме:
Согласно вышеизложенным правилам линейных преобразований случайных функций математические ожидания воздействия и реакции должны удовлетворять тому же уравнению:
Аналогично каждая из координатных функций должна удовлетворять тому же дифференциальному уравнению:
Таким образом, задача определения реакции линейной динамической системы на случайное воздействие свелась к обычной математической задаче интегрирования Остается осветить вопрос о начальных условиях, при которых следует интегрировать уравнения (16.3.10) и (16.3.11). Сначала рассмотрим наиболее простой случай, когда начальные условия для данной динамической системы являются неслучайными. В этом случае при
где Условия (16.3.12) можно записать более компактно:
понимая при этом под «производной нулевого порядка» Выясним, при каких начальных условиях должны интегрироваться уравнения (16.3.10) и (16.3.11). Для этого найдем
Учитывая (16.3.12), имеем:
Так как величина
Так как все дисперсии
для всех Подставляя
Из равенства (16.3.17) следует, что уравнение (16.3.10) для математического ожидания должно интегрироваться при заданных начальных условиях (16.3.12):
Что касается уравнений (16.3.11), то они должны интегрироваться при нулевых начальных условиях:
Рассмотрим более сложный случай, когда начальные условия случайны:
где В этом случае реакция на выходе системы может быть найдена в виде суммы:
где
где Решение Следует заметить, что на практике весьма часто встречаются случаи, когда для моментов времени, достаточно удаленных от начала случайного процесса, начальные условия уже не оказывают влияния на его течение: вызванные ими переходные процессы успевают затухнуть. Системы, обладающие таким свойством, называются асимптотически устойчивыми. Если нас интересует реакция асимптотически устойчивой динамической системы на участках времени, достаточно удаленных от начала, то можно ограничиться исследованием решения
|