Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


ГЛАВА 17 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

17.1. Понятие о стационарном случайном процессе

На практике очень часто встречаются случайные процессы, протекающие во времени приблизительно однородно и имеющие вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средняя амплитуда, ни характер этих колебаний не обнаруживают существенных изменений с течением времени. Такие случайные процессы называются стационарными.

В качестве примеров стационарных случайных процессов можно привести: 1) колебания самолета на установившемся режиме горизонтального полета; 2) колебания напряжения в электрической осветительной сети; 3) случайные шумы в радиоприемнике; 4) процесс качки корабля и т. п.

Каждый стационарный процесс можно рассматривать как продолжающийся во времени неопределенно долго; при исследовании стационарного процесса в качестве начала отсчета можно выбрать любой момент времени. Исследуя стационарный процесс на любом участке времени, мы должны получить одни и те же его характеристики. Образно выражаясь, стационарный процесс «не имеет ни начала, ни конца».

Примером стационарного случайного процесса может служить изменение высоты центра тяжести самолета на установившемся режиме горизонтального полета (рис. 17.1.1).

image2

Рис. 17.1.1.

В противоположность стационарным случайным процессам можно указать другие, явно нестационарные, случайные процессы, например: колебания самолета в режиме пикирования; процесс затухающих колебаний в электрической цепи; процесс горения порохового заряда в реактивной камере и т. д. Нестационарный процесс характерен тем, что он имеет определенную тенденцию развития во времени; характеристики такого процесса зависят от начала отсчета, зависят от времени.

На рис. 17.1.2 изображено семейство реализаций явно нестационарного случайного процесса - процесса изменения тяги двигателя реактивного снаряда во времени.

image3

Рис. 17.1.2.

Заметим, что далеко не все нестационарные случайные процессы являются существенно нестационарными на всем протяжении своего развития. Существуют нестационарные процессы, которые (на известных отрезках времени и с известным приближением) могут быть приняты за стационарные.

Например, процесс наводки перекрестия авиационного прицела на цель есть явно нестационарный процесс, если цель за короткое время с большой и резко меняющейся угловой скоростью проходит поле зрения прицела. В этом случае колебания оси прицела относительно цели не успевают установиться в некотором стабильном режиме; процесс начинается и заканчивается, не успев приобрести стационарный характер. Напротив, процесс наводки перекрестия прицела па неподвижную или движущуюся с постоянной угловой скоростью цель через некоторое время после начала слежения приобретает стационарный характер.

Вообще, как правило, случайный процесс в любой динамической системе начинается с нестационарной стадии - с так называемого «переходного процесса». После затухания переходного процесса система обычно переходит на установившийся режим, и тогда случайные процессы, протекающие в ней, могут считаться стационарными.

Стационарные случайные процессы очень часто встречаются в физических и технических задачах. По своей природе эти процессы проще, чем нестационарные, и описываются более простыми характеристиками. Линейные преобразования стационарных случайных процессов также обычно осуществляются проще, чем нестационарных. В связи с этим на практике получила широкое применение специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время). Элементы этой теории и будут изложены в данной главе.

Случайная функция  называется стационарной, если все ее вероятностные характеристики не зависят от  (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси ).

В данном элементарном изложении теории случайных функций мы совсем не пользуемся такими вероятностными характеристиками, как законы распределения: единственными характеристиками, которыми мы пользуемся, являются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция. Сформулируем определение стационарной случайной функции в терминах этих характеристик.

Так как изменение стационарной случайной функции должно протекать однородно по времени, то естественно потребовать, чтобы для стационарной случайной функции математическое ожидание было постоянным:

.              (17.1.1)

Заметим, однако, что это требование не является существенным: мы знаем, что от случайной функции  всегда можно перейти к центрированной случайной функции , для которой математическое ожидание тождественно равно нулю и, следовательно, удовлетворяет условию (17.1.1). Таким образом, если случайный процесс нестационарен только за счет переменного математического ожидания, это не мешает нам изучать его как стационарный процесс.

Второе условие, которому, очевидно, должна удовлетворять стационарная случайная функция, - это условие постоянства дисперсии:

.              (17.1.2)

Установим, какому условию должна удовлетворять корреляционная функция стационарной случайной функции. Рассмотрим случайную функцию  (рис. 17.1.3).

image4

Рис. 17.1.3.

Положим в выражении   и рассмотрим  - корреляционный момент двух сечений случайной функции, разделенных интервалом времени . Очевидно, если случайный процесс  действительно стационарен, то этот корреляционный момент не должен зависеть от того, где именно на оси  мы взяли участок , а должен зависеть только от длины этого участка. Например, для участков  и  на рис. 17.1.3, имеющих одну и ту же длину , значения корреляционной функции  и  должны быть одинаковыми. Вообще, корреляционная функция стационарного случайного процесса должна зависеть не от положения  первого аргумента на оси абсцисс, а только от промежутка  между первым и вторым аргументами:

.               (17.1.3)

Следовательно, корреляционная функция стационарного случайного процесса есть функция не двух, а всего одного аргумента. Это обстоятельство в ряде случаев сильно упрощает операции над стационарными случайными функциями.

Заметим, что условие (17.1.2), требующее от стационарной случайной функции постоянства дисперсии, является частным случаем условия (17.1.3). Действительно, полагая в формуле (17.1.3)   имеем

.                  (17.1.4)

Таким образом, условие (17.1.3) есть единственное существенное условие, которому должна удовлетворять стационарная случайная функция.

Поэтому в дальнейшем мы под стационарной случайной функцией будем понимать такую случайную функцию, корреляционная функция которой зависит не от обоих своих аргументов  и , а только от разности  между ними. Чтобы не накладывать специальных условий на математическое ожидание, мы будем рассматривать только центрированные случайные функции.

Мы знаем, что корреляционная функция любой случайной функции обладает свойством симметрии:

.

Отсюда для стационарного процесса, полагая , имеем:

,                     (17.1.5)

т. е. корреляционная функция  есть четная функция своего аргумента. Поэтому обычно корреляционную функцию определяют только для положительных значений аргумента (рис. 17.1.4).

image5

Рис. 17.1.4.

На практике, вместо корреляционной функции , часто пользуются нормированной корреляционной функцией

,                      (17.1.6)

где  - постоянная дисперсия стационарного процесса. Функция  есть не что иное, как коэффициент корреляции между сечениями случайной функции, разделенными интервалом  по времени. Очевидно, что .

В качестве примеров рассмотрим два образца приблизительно стационарных случайных процессов и построим их характеристики.

Пример 1. Случайная функция  задана совокупностью 12 реализаций (рис. 17.1.5).

image6

Рис. 17.1.5

а) Найти ее характеристики , ,  и нормированную корреляционную функцию . б) Приближенно рассматривая случайную функцию  как стационарную, найти ее характеристики.

Решение. Так как случайная функция  меняется сравнительно плавно, можно брать сечения не очень часто, например через 0,4 сек. Тогда случайная функция будет сведена к системе семи случайных величин, отвечающих сечениям . Намечая эти сечения на графике и снимая с графика значения случайной функции в этих сечениях, получим таблицу (табл. 17.1.1).

Таблица 17.1.1

№ реализации

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

1

0,64

0,74

0,62

0,59

0,35

-0,09

0,39

2

0,54

0,37

0,06

-0,32

-0,60

-0,69

-0,67

3

0,34

0,50

0,37

0,26

-0,52

-0,72

0,42

4

0,23

0,26

0,35

0,55

0,69

0,75

0,80

5

0,12

0,20

0,24

0,18

-0,20

-0,42

-0,46

6

-0,16

-0,12

-0,15

0,05

0,29

0,43

0,63

7

-0,22

-0,29

-0,38

-0,24

-0,06

0,07

-0,16

8

-0,26

-0,69

-0,70

-0,61

-0,43

-0,22

0,29

9

-0,50

-0,60

-0,68

-0,62

-0,68

-0,56

-0,54

10

-0,30

0,13

0,75

0,84

0,78

0,73

0,71

11

-0,69

-0,40

0,08

0,16

0,12

0,18

0,33

12

0,18

-0,79

-0,56

-0,39

-0,42

-0,58

-0,53

Таблицу рекомендуется заполнять по строчкам, передвигаясь все время вдоль одной реализации.

Далее находим оценки для характеристик случайных величин . Суммируя значения по столбцам и деля сумму на число реализаций , найдем приближенно зависимость математического ожидания от времени:

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

-0,007

-0,057

0,000

0,037

-0,057

-0,093

0,036

На графике рис. 17.1.5 математическое ожидание показано жирной линией.

Далее находим оценки для элементов корреляционной матрицы: дисперсий и корреляционных моментов. Вычисления удобнее всего производить по следующей схеме. Для вычисления статистической дисперсии суммируются квадраты чисел, стоящих в соответствующем столбце; сумма делится на ; из результата вычитается квадрат соответствующего математического ожидания. Для получения несмещенной оценки результат множится на поправку . Аналогично оцениваются корреляционные моменты. Для вычисления статистического момента, отвечающего двум заданным сечениям, перемножаются числа, стоящие в соответствующих столбцах; произведении складываются алгебраически; полученная сумма делится на ; из результата вычитается произведение соответствующих математических ожиданий; для получения несмещенной оценки корреляционного момента результат множится на . При выполнении расчетов на счетной машине или арифмометре промежуточные результаты умножений не записываются, а непосредственно суммируются. Полученная таким способом корреляционно матрица системы случайных величин  - она же таблица значений корреляционной функции  - приведена в таблице 17.1.2.

Таблица 17.1.2.

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

0

0,1632

0,1379

0,0795

0,0457

-0,0106

-0,0642

-0,0648

0,4

 

0,2385

0,2029

0,1621

0,0827

0,0229

0,0251

0,8

 

 

0,2356

0,2152

0,1527

0,0982

0,0896

1,2

 

 

 

0,2207

0,1910

0,1491

0,1322

1,6

 

 

 

 

0,2407

0,2348

0,1711

2,0

 

 

 

 

 

0,2691

0,2114

2,4

 

 

 

 

 

 

0,2878

По главной диагонали таблицы стоят оценки дисперсий:

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

0,1632

0,2385

0,2356

0,2207

0,2407

0,2691

0,278

Извлекая из этих величин квадратные корни, найдем зависимость среднего квадратического отклонения  от времени:

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

0,404

0,488

0,485

0,470

0,491

0,519

0,536

Деля значения, стоящие в табл. 17.1.2, на произведения соответствующих средних квадратических отклонений, получим таблицу значений нормированной корреляционной функции  (табл. 17.1.3).

Таблица 17.1.3

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

0

1

0,700

0,405

0,241

-0,053

-0,306

-0,299

0,4

 

1

0,856

0,707

0,345

0,090

0,095

0,8

 

 

1

0,943

0,643

0,390

0,344

1,2

 

 

 

1

0,829

0,612

0,524

1,6

 

 

 

 

1

0,923

0,650

2,0

 

 

 

 

 

1

0,760

2,4

 

 

 

 

 

 

1

Проанализируем полученные данные под углом зрения предполагаемой стационарности случайной функции . Если судить непосредственно по данным, полученным в результате обработки, то можно прийти к выводу, что случайная функция  стационарной не является: ее математическое ожидание не вполне постоянно; дисперсия также несколько меняется со временем; значения нормированной корреляционной функции вдоль параллелей главной диагонали также не вполне постоянны. Однако, принимая во внимание весьма ограниченное число обработанных реализаций () и в связи с этим наличие большого элемента случайности в полученных оценках, эти видимые отступления от стационарности вряд ли можно считать значимыми, тем более, что они не носят сколько-нибудь закономерного характера. Поэтому вполне целесообразной будет приближенная замена функции  стационарной. Для приведения функции к стационарной прежде всего осредним по времени оценки для математического ожидания:

.

Аналогичным образом осредним оценки для дисперсии:

.

Извлекая корень, найдем осредненную оценку с. к. о.:

.

Перейдем к построению нормированной корреляционной функции того стационарного процесса, которым можно заменить случайную функцию . Для стационарного процесса корреляционная функция (а значит, и нормированная корреляционная функция) зависит только от ; следовательно, при постоянном  корреляционная функция должна быть постоянной. В таблице 17.1.3 постоянному  соответствуют: главная диагональ () и параллели этой диагонали (; ;  и т. д.). Осредняя оценки нормированной корреляционной функции вдоль этих параллелей главной диагонали, получим значения функции :

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

1,00

0,84

0,60

0,38

0,13

-0,10

-0,30

График функции  представлен на рис. 17.1.6.

Рис. 17.1.6.

При рассмотрении рис. 17.1.6 обращает на себя внимание наличие для некоторых  отрицательных значений корреляционной функции. Это указывает на то, что в структуре случайной функции имеется некоторый элемент периодичности, в связи с чем на расстоянии по времени, равном примерно половине периода основных колебаний, наблюдается отрицательная корреляция между значениями случайной функции: положительным отклонениям от среднего в одном сечении соответствуют отрицательные отклонения через определенный промежуток времени, и наоборот.

Такой характер корреляционной функции, с переходом на отрицательные значения, очень часто встречается на практике. Обычно в таких случаях по мере увеличения  амплитуда колебаний корреляционной функции уменьшается и при дальнейшем увеличении  корреляционная функция стремится к нулю.

Пример 2. Случайная функция  задана совокупностью 12 своих реализаций (рис. 17.1.7). Приближенно заменив функцию  стационарной, сравнить ее нормированную корреляционную функцию с функцией  предыдущего примера.

Рис. 17.1.7.

Решение. Так как случайная функция  отличается значительно менее плавным ходом по сравнению с функцией  предыдущего примера, промежуток между сечениями уже нельзя брать равным 0,4 сек, как в предыдущем примере, а следует взять по крайней мере вдвое меньше (например, 0,2 сек, как на рис. 17.1.7). В результате обработки получаем оценку для нормированной корреляционной функции :

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

1,00

0,73

0,41

0,22

-0,01

-0,20

-0,19

-0,10

-0,06

-0,15

0,08

0,19

0,05

График функции  представлен на рис. 17.1.8.

Рис. 17.1.8.

Из сравнения графиков рис. 17.1.8 и 17.1.6 видно, что корреляционная функция, изображенная

на рис. 17.1.8, убывает значительно быстрее. Это и естественно, так как характер изменения функции  в примере 1 гораздо более плавный и постепенный, чем в примере 2; в связи с этим корреляция между значениями случайной функции в примере 1 убывает медленнее.

При рассмотрении рис. 17.1.8 бросаются в глаза незакономерные колебания функции  для больших значений . Так как при больших значениях  точки графика получены осреднением сравнительно очень небольшого числа данных, их нельзя считать надежными. В подобных случаях имеет смысл сгладить корреляционную функцию, как, например, показано пунктиром на рис. 17.1.8.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>