§ 2. Классификация оценок

Итак, задача состоит в том, чтобы, используя случайную и независимую выборку  фиксированной длины , полученную согласно плотности распределения вероятностей , восстановить значение вектора- параметров .

Иначе говоря, задача заключается в том, чтобы найти функцию, которая по каждой выборке векторов  вычисляла бы вектор , который мы примем за приближение вектора-параметров , т. е. найти функцию

.                   (3.3)

Функция (3.3) получила название оценки параметров . Так как векторы  случайны, то оценка  является случайной величиной, обладающей такими характеристиками случайной величины, как функция плотности распределения , математическое ожидание

,

дисперсия

.

В математической статистике приняты следующие характеристики оценок.

Несмещенной называется такая оценка, для которой математическое ожидание оценки равно самой определяемой величине.

Эффективной оценкой называется несмещенная оценка с минимальной дисперсией т. е. наиболее точная из всех несмещенных оценок.

Рис. 4.

Для остальных (неэффективных оценок) вводится количественная мера точности оценки , называемая эффективностью оценки, которая определяется отношением дисперсии эффективной оценки к дисперсии данной оценки. Очевидно, что эффективность эффективной оценки равна 1, а для остальных оценок . На основе этих определений можно ввести первоначальную классификацию оценок (рис. 4, а).

Эта классификация предназначена для характеристик оценок, полученных на выборках малого объема. Для выборок большого объема предлагается несколько иная система классификации, в которую введены понятия асимптотически несмещенных, состоятельных и эффективных оценок.

Асимптотически несмещенной называется оценка, для которой

 при .

Состоятельной называется оценка, для которой  при  для всех .

Асимптотически эффективной называется оценка, для которой  при . Такая классификация оценок представлена на рис. 4, б.