§ 3. Метод максимума правдоподобияМетод максимума правдоподобия в задаче о восстановлении плотности распределения вероятностей в классе функций связан с исследованием так называемой функции правдоподобия Фишера. Функция правдоподобия задается на выборке и имеет вид . (3.4) Если величины дискретны, то функция для каждого определяет вероятность случайной и независимой выборки образовать последовательность . Если же – непрерывные величины, то функция может быть истолкована как плотность совместного распределения величин . Таким образом, каждой выборке может быть поставлена в соответствие функция правдоподобия (рис. 5). Рис. 5. Метод максимума правдоподобия состоит в том, чтобы в качестве восстановленного значения параметра выбирать то, которое доставляет максимум функции правдоподобия. Наряду с функцией принято рассматривать функцию . (3.4') Максимум функций (3.4) и (3.4') совпадают и, следовательно, оценки максимума правдоподобия могут быть найдены как корни уравнения , или уравнения . Теория метода призвана оцепить, насколько «хорош» предлагаемый способ оценивания параметров. Эта теория достаточно полно разработана. Подробное исследование свойств оценки максимума правдоподобия можно найти в работах [2, 62]. Основное содержание теории заключается в том, что для определенных функций (которым заведомо принадлежат оба класса рассматриваемых распределений вероятностей) метод максимума правдоподобия обеспечивает асимптотическую несмещенность и асимптотическую эффективность оценки.
|