§ 5. Основная леммаВ конце § 2, было сказано, что основная идея, на которой строятся условия равномерной сходимости частот к вероятностям, состоит в том, что бесконечная система событий Оказывается, что равномерная сходимость к нулю разности частот в двух полувыборках является необходимой и достаточной для равномерной сходимости частот к вероятностям и из оценок скорости одной сходимости следуют оценки для другой. Итак, пусть взята выборка длины и подсчитаны частоты выпадения события
Нас будет интересовать максимальное отклонение частот по всем событиям класса
Напомним, что через
Далее будем полагать, что как Основная лемма. Распределения величин а) б) Доказательство. Доказательство утверждения а) построено по следующей схеме. Представим себе, что полувыборки
Это значит, что в классе
На второй полувыборке будем следить за отклонением частоты от вероятности лишь для этого фиксированного события и, следовательно,
Таким образом, условная вероятность (10.17) при условии (10.16) становится достаточно большой при соответствующих По определению
где
Учитывая, что пространство
Поэтому имеем (во внутреннем интеграле первая полувыборка фиксируется). Обозначим через и, ограничивая интегрирование, получим
Оценим внутренний интеграл правой части неравенства, обозначив его через
Тогда
Пусть, например, (аналогично рассматривается случай достаточно потребовать, чтобы выполнялось соотношение
откуда
Как известно, последняя сумма превосходит
что и требуется. Утверждение б) непосредственно следует из того, что если
то либо
либо
Учитывая, что при этом полувыборки и поэтому
Лемма доказана.
|