§ 6. Вывод достаточных условий равномерной сходимости частот к вероятностям по классу событий

Итак, задача может быть сведена к оценке равномерной близости частот в двух последующих полувыборках. Схему сравнения частот выпадения событий в двух полувыборках можно представить себе так. Берется выборка двойной длины  и затем делится случайным образом на две полувыборки равной длины. Будем считать, что выборка  зафиксирована. Если два события  и  неразличимы на выборке , т. е. всякий элемент этой выборки, принадлежащий  принадлежит  и наоборот, то частоты выпадения этих событий на всякой подвыборке одинаковы. Поэтому для оценки максимального уклонения частот достаточно из каждой группы неразличимых событий взять по одному. Число таких событий будет конечно и равно индексу  системы  относительно выборки . Рассмотрим одно из таких событий  и, по-прежнему считая выборку  фиксированной, разобьем ее случайно на две равные полувыборки и оценим уклонение частот этого события в двух полувыборках. Эта схема равноценна схеме с невозвращаемыми шарами, а поэтому (см. [64])

,

,

где  – число элементов  в выборке ,  – число элементов  в первой полувыборке.

Как показано в приложении к главе X, правая часть равенства может быть оценена сверху:

,

.

Таким образом,

.

Вероятность того, что хотя бы для одного события , из числа выбранных, окажется

,

по теореме о сложении вероятностей оценивается:

.

В свою очередь по определению функции роста

и, таким образом,

.

Очевидно, что если функция  растет лишь степенным образом, то правая часть неравенства стремится к нулю при . Это и дает достаточные условия равномерной сходимости (по вероятности).

Перейдем к строгой формулировке и доказательству достаточных условий.

Теорема 10.2. Вероятность того, что частоты всех событий класса  уклонятся от соответствующих вероятностей в эксперименте длины  более чем на , удовлетворяет неравенству

.              (10.19)

Следствие. Для того чтобы частоты событий класса  сходились (по вероятности) к соответствующим вероятностям равномерно по классу , достаточно существования такого конечного , что

.

Доказательство. В силу с основной леммы достаточно оценить величину

.

Рассмотрим отображение пространства  на себя, получаемое некоторой перестановкой  элементов последовательности . В силу симметрии определения продукт-меры имеет место следующее равенство:

для любой интегрируемой функции .

Поэтому

,              (10.20)

где сумма берется по всем  перестановкам.

Заметим, прежде всего, что

Очевидно, что если два множества  и  индуцируют на выборке  одну и ту же подвыборку, то справедливо

,

и, следовательно,

для любой перестановки .

Иными словами, если два события эквивалентны относительно выборки , то уклонение частот для этих событий одинаковы при всех перестановках . Поэтому, если из каждого класса эквивалентности взять по одному множеству и образовать конечную систему , то

.

Число событий в системе  конечно и было обозначено . Поэтому, заменяя операцию  суммированием, получаем

.

Эти соотношения позволяют оценить подынтегральное выражение в (10.20):

Выражение в квадратных скобках означает отношение числа порядков в выборке (при фиксированном составе), для которых

,

к общему числу перестановок. Легко видеть, что оно равно

,

,

где  равно числу элементов выборки , принадлежащих .

В приложении к этой главе показано, что

.

Таким образом,

.

Подставляя эту оценку в интеграл (10.20), имеем

,

откуда в силу основной леммы

.

Теорема доказана.

Доказательство следствия. Пусть существует такое , что

.

Как было доказано в § 4, если только функция  не равна , то при  справедливо:

.

Поэтому:

,

т. е. имеет место равномерная сходимость по вероятности.

Полученное достаточное условие не зависит от свойств распределения (единственное требование – это измеримость функций  и ), а зависит от внутренних свойств системы .