§ 6. Вывод достаточных условий равномерной сходимости частот к вероятностям по классу событий
Итак, задача может быть сведена к оценке равномерной близости частот в двух последующих полувыборках. Схему сравнения частот выпадения событий в двух полувыборках можно представить себе так. Берется выборка двойной длины
и затем делится случайным образом на две полувыборки равной длины. Будем считать, что выборка
зафиксирована. Если два события
и
неразличимы на выборке
, т. е. всякий элемент этой выборки, принадлежащий
принадлежит
и наоборот, то частоты выпадения этих событий на всякой подвыборке одинаковы. Поэтому для оценки максимального уклонения частот достаточно из каждой группы неразличимых событий взять по одному. Число таких событий будет конечно и равно индексу
системы
относительно выборки
. Рассмотрим одно из таких событий
и, по-прежнему считая выборку
фиксированной, разобьем ее случайно на две равные полувыборки и оценим уклонение частот этого события в двух полувыборках. Эта схема равноценна схеме с невозвращаемыми шарами, а поэтому (см. [64])
,
,
где
– число элементов
в выборке
,
– число элементов
в первой полувыборке.
Как показано в приложении к главе X, правая часть равенства может быть оценена сверху:
,
.
Таким образом,
.
Вероятность того, что хотя бы для одного события
, из числа выбранных, окажется
,
по теореме о сложении вероятностей оценивается:
.
В свою очередь по определению функции роста

и, таким образом,
.
Очевидно, что если функция
растет лишь степенным образом, то правая часть неравенства стремится к нулю при
. Это и дает достаточные условия равномерной сходимости (по вероятности).
Перейдем к строгой формулировке и доказательству достаточных условий.
Теорема 10.2. Вероятность того, что частоты всех событий класса
уклонятся от соответствующих вероятностей в эксперименте длины
более чем на
, удовлетворяет неравенству
. (10.19)
Следствие. Для того чтобы частоты событий класса
сходились (по вероятности) к соответствующим вероятностям равномерно по классу
, достаточно существования такого конечного
, что
.
Доказательство. В силу с основной леммы достаточно оценить величину
.
Рассмотрим отображение пространства
на себя, получаемое некоторой перестановкой
элементов последовательности
. В силу симметрии определения продукт-меры имеет место следующее равенство:

для любой интегрируемой функции
.
Поэтому
, (10.20)
где сумма берется по всем
перестановкам.
Заметим, прежде всего, что

Очевидно, что если два множества
и
индуцируют на выборке
одну и ту же подвыборку, то справедливо
,

и, следовательно,

для любой перестановки
.
Иными словами, если два события эквивалентны относительно выборки
, то уклонение частот для этих событий одинаковы при всех перестановках
. Поэтому, если из каждого класса эквивалентности взять по одному множеству и образовать конечную систему
, то
.
Число событий в системе
конечно и было обозначено
. Поэтому, заменяя операцию
суммированием, получаем
.
Эти соотношения позволяют оценить подынтегральное выражение в (10.20):

Выражение в квадратных скобках означает отношение числа порядков в выборке (при фиксированном составе), для которых
,
к общему числу перестановок. Легко видеть, что оно равно
,
,
где
равно числу элементов выборки
, принадлежащих
.
В приложении к этой главе показано, что
.
Таким образом,
.
Подставляя эту оценку в интеграл (10.20), имеем
,
откуда в силу основной леммы
.
Теорема доказана.
Доказательство следствия. Пусть существует такое
, что
.
Как было доказано в § 4, если только функция
не равна
, то при
справедливо:
.
Поэтому:
,
т. е. имеет место равномерная сходимость по вероятности.
Полученное достаточное условие не зависит от свойств распределения (единственное требование – это измеримость функций
и
), а зависит от внутренних свойств системы
.