§ 7. О равномерной сходимости с вероятностью единица

В предыдущем параграфе мы указали на достаточные условия равномерной сходимости (по вероятности) частот к вероятностям по классу событий .

Здесь мы покажем, что полученные условия гарантируют также равномерную сходимость с вероятностью единица. Доказательство этого утверждения основывается на использовании известной из теории вероятностей леммы [21].

Лемма. Если для случайной последовательности  найдется такое , что для любого  справедливо неравенство

,

то последовательность  сходится к  с вероятностью единица.

Доказательство. Обозначим через  событие, состоящее в том, что выполняется неравенство

 ( – целое число).

Рассмотрим событие , состоящее в том, что выполняется хотя бы одно из событий  т. е.

.

Оценим вероятность этого события:

.                      (10.21)

Но так как в силу условия леммы ряд (10.21) сходится, то

.                    (10.22)

Рассмотрим теперь событие

.

Из того, что событие  влечет за собой любое из событий , в силу (10.22) получаем

.                 (10.23)

Наконец, положим

.

Как нетрудно установить, это событие означает, что найдется такое , что для каждого   хотя бы при одном   будут выполняться неравенства

.

Так как

,

то в силу (10.23)

,

что и требовалось доказать.

Теорема 10.3. Если существует такое число , что при  функция , то справедливо

.

Доказательство. В силу теоремы 10.2

.

Пусть  – такое число, что при

.

Выберем целое число  так, чтобы оно превосходило и .

Тогда

.

Первое слагаемое в правой части равенства не превосходит , а второе слагаемое

сходится, как известно, при любом .

Поэтому

и, согласно приведенной лемме,

.

Теорема доказана.