§ 7. О равномерной сходимости с вероятностью единицаВ предыдущем параграфе мы указали на достаточные условия равномерной сходимости (по вероятности) частот к вероятностям по классу событий Здесь мы покажем, что полученные условия гарантируют также равномерную сходимость с вероятностью единица. Доказательство этого утверждения основывается на использовании известной из теории вероятностей леммы [21]. Лемма. Если для случайной последовательности
то последовательность Доказательство. Обозначим через
Рассмотрим событие
Оценим вероятность этого события:
Но так как в силу условия леммы ряд (10.21) сходится, то
Рассмотрим теперь событие
Из того, что событие
Наконец, положим
Как нетрудно установить, это событие означает, что найдется такое
Так как
то в силу (10.23)
что и требовалось доказать. Теорема 10.3. Если существует такое число
Доказательство. В силу теоремы 10.2
Пусть
Выберем целое число Тогда
Первое слагаемое в правой части равенства не превосходит сходится, как известно, при любом Поэтому и, согласно приведенной лемме,
Теорема доказана.
|