§ 4. Доказательство необходимости условий равномерной сходимости
Пусть теперь
.
В силу основной леммы (§ 5, гл. X), если только
, (11.14)
то и
.
Таким образом, достаточно показать справедливость (11.14) при некотором
.
1. Рассмотрим сначала для пояснения общего доказательства частный случай, когда
.
В этом случае, как было указано в замечании 2 § 2,

и, поскольку
есть математическое ожидание величины
,
то
.
Следовательно, для всякого
с вероятностью 1
,
т. е. с вероятностью 1 всякая выборка такова, что на ней индуцируются системой
все возможные подвыборки. В частности, для выборки
можно найти такое
, что
для
и
для
. Тогда
,
и, следовательно, с вероятностью 1
.
Тогда и подавно для всех 
.
Идея доказательства утверждения б) в общем случае основана на том, что при

почти из всякой выборки длины
можно выделить подвыборку, на которой индуцированы все подвыборки и длина которой растет пропорционально
.
2. Для этого нам понадобится следующая
Лемма 3. Если при некотором
и
для некоторой выборки
оказывается, что
,
то найдется подвыборка

длины
, где
(
– основание натуральных логарифмов), такая, что
.
Доказательство. В силу леммы § 4 главы X требуемая подвыборка заведомо существует, если
.
Чтобы убедиться в последнем, достаточно проверить неравенство
. (11.15)
Поскольку при наших условиях
и
, то можно воспользоваться оценкой функции
, полученной в замечании 1 § 4 главы X:
.
В свою очередь это неравенство можно усилить, применяя формулу Стирлинга:
.
Нетрудно убедиться, что функция
монотонно возрастает по
при
. Следовательно, справедливо также неравенство
,
так как
.
Поэтому отношение (11.15) будет установлено, если справедливо неравенство
.
Логарифмированием и сокращением на
это неравенство преобразуется к следующему виду:
. (11.16)
При
справедливо неравенство
.
Оно непосредственно следует из того, что функция
достигает максимума в точке
и равна при этом
. Поэтому (11.16) следует из неравенства
.
Подставляя сюда значение
, непосредственно убеждаемся в справедливости выражения
.
Лемма доказана.
Напомним, что, согласно лемме 2 § 2, при

оказывается, что с ростом 

стремится к единице
. Следовательно, при достаточно больших
с вероятностью, сколь угодно близкой к единице,
(11.17)
и, согласно только что доказанной лемме, в каждой выборке, удовлетворяющей условию (11.17), найдется подвыборка длины
,
на которой система
индуцирует все подвыборки. Длина этой подвыборки возрастает пропорционально
.
3. Схема доказательства (утверждения б)). Сравнение частот выпадения событий в двух полувыборках может вестись следующим образом: берется выборка длины
и случайным образом делится на две полувыборки равной длины, после чего подсчитывается и сравнивается число появления каждого события класса
на первой и второй полувыборках.
Рассмотрим несколько измененную схему. Допустим, что выборка двойной длины
удовлетворяет условию (11.17), т. е.
.
Тогда в ней можно указать подвыборку
длины
,
на которой индуцированы все подвыборки. Теперь разделим случайно на две полувыборки сначала подвыборку
, а затем (независимо) остаток
. Пусть
и
– две полувыборки, на которые распалась
. По построению найдется событие
такое, что все элементы
принадлежат
, а все элементы
не принадлежат
. Для этого события «разбаланс» частот достигает наибольшего значения. Допустим, что в оставшейся части последовательности элементы из
встречаются
раз. При случайном разбиении остатка примерно
из них попадет в первую полувыборку и столько же во вторую. Тогда

и, следовательно,
.
Поскольку число
не зависит от длины выборки, то равномерной сходимости нет.
Измененная схема не вполне эквивалентна исходной, так как в действительности подвыборка
и остаток не обязательно делятся точно пополам при делении полной выборки
, но при достаточно больших
(а значит, и
) это условие почти всегда выполняется достаточно точно. Приводимое дальше формальное доказательство позволяет строго учесть все сделанные здесь допущения и приближения.
4. Доказательство утверждения б). Итак, пусть
.
При доказательстве достаточных условий (§ 6 главы X) было установлено, что
, (11.18)
где
– всевозможные перестановки последовательности
. Обозначив через
подынтегральное выражение, сократим область интегрирования:
.
Оценим величину
, полагая, что
,
т.е.
.
При этом выберем
так, чтобы в соответствии с леммой 3 при достаточно больших
существовала подвыборка
длины
, на которой система
индуцирует все возможные подвыборки (т. е.
), и положим
. Примем, что
, и заметим, что числа
и
не зависят от
.
Сгруппируем перестановки
так, что в каждую группу
входят перестановки, соответствующие одному и тому же разбиению на первую и вторую полувыборку. Очевидно, что

зависит только от
и в пределах каждой группы постоянна. Поэтому
.
Сумма берется по всем возможным разбиениям
на первую и вторую полувыборки.
Пусть, далее,
– та самая подвыборка длины
, на которой
индуцирует все возможные подвыборки. Обозначим ее дополнение в
через
(длина
равна
).
Разбиение
будет полностью задано, если заданы разбиение
подвыборки
на часть, попадающую в первую полувыборку, и часть, попадающую во вторую полувыборку, и соответствующие разбиение
подвыборки
.
Обозначим для данного разбиения число элементов из
, попадающее в первую полувыборку, через
и представим
в следующей форме:
.
Здесь суммирование по
ведется в пределах
. Суммирование по
ведется по всем разбиениям
таким, что к первой полувыборке относится точно
элементов из
, суммирование по
– по всем разбиениям
таким, что к первой полувыборке относится
элементов из
.
Для фиксированного
, т. е. разбиения подвыборки
, найдется такое
, что все элементы
, относимые этим разбиением к первой полувыборке, принадлежат
, а все элементы
, отнесенные ко второй полувыборке, не принадлежат
. Это следует из того, что
индуцирует на
все подвыборки. При этом

и, следовательно,
.
Пусть, далее,
– число элементов подвыборки
, принадлежащих
, и
– число элементов подвыборки
, принадлежащих
и отнесенных разбиением
к первой полувыборке. Тогда для фиксированных
,
, 
,
,
.
Соответственно

Наконец, сгруппируем разбиения
, соответствующие одному и тому же
(при фиксированных
и
). Число таких разбиений равно
.
Тогда оценка для
примет вид
.
После элементарных преобразований получим
, (11.19)
где суммирование по
ведется в пределах, задаваемых выражением
. (11.20)
Положим теперь
и рассмотрим величину
, отличающуюся от правой части (11.19) лишь иными пределами суммирования,
,
где
и
пробегают значения, удовлетворяющие следующим неравенствам:
, (11.21)
. (11.22)
При
и
, удовлетворяющих (11.21) и (11.22), автоматически выполняется (11.20). Действительно, при этом
.
Поскольку было принято, что
,
,
,
то
.
Так как область суммирования в выражении для
вкладывается в область суммирования (11.19), то
.
Далее, для всякого
найдется
, зависящее только от
и
, такое, что для всех 
(11.23)
(суммирование ведется по
, удовлетворяющим (11.21)) и
(11.24)
(суммирование ведется по
, удовлетворяющим (11.22)).
Действительно,

есть вероятность вынуть
черных шаров из урны, содержащей
черных и
белых шаров, когда вынимается случайно
шаров без возвращения. При этом математическое ожидание числа черных шаров в выборке равно
и правая часть формулы (11.23) выражает вероятность того, что число черных шаров в выборке отклонится от математического ожидания более чем на
. Поскольку для схемы без возвращения справедлив закон больших чисел, формула (11.23) верна, начиная с достаточно больших
.
Аналогично

есть вероятность вынуть
черных шаров из урны, содержащей
черных и
белых шаров, когда вынимается
шаров, опять-таки без возвращения. Математическое ожидание черных шаров в выборке равно

и, следовательно, формула (11.24) выражает закон больших чисел в этом случае.
Тогда, учитывая что число разбиений
подвыборки
для фиксированного
равно
, получим при 
.
Окончательно для
и 
.
Поскольку, согласно лемме 2,
,
имеем
.
Ввиду произвольной малости 
.
Теорема доказана.