§ 5. Примеры и дополнительные критерии
При выводе необходимых и достаточных условий попутно было установлено (§ 4), что если
,
то

и соответственно
,
т. е. этом случае максимальное отклонение частоты от вероятности остается большим даже при сколь угодно длинных выборках.
1. В примере 2 § 3 главы X было принято, что
– сегмент
, система
состоит из всех множеств, каждое из которых является объединением конечного числа замкнутых сегментов с рациональными концами. Система
счетна. Было установлено, что
,
если только выборка не содержит повторений.
При любом непрерывном распределении выборка с вероятностью 1 не содержит повторений. Поэтому

и, следовательно, с вероятностью 1

(в действительности нетрудно убедиться, что в данном случае почти наверное
).
Таким образом, равномерной сходимости нет, несмотря на то, что система
содержит лишь счетное число событий.
2. В примере 3 § 3 главы X рассматриваются
-мерное пространство
и система событий вида

при всевозможных
.
Нетрудно убедиться, что если точки
находятся в общем положении при
, то
.
При любом непрерывном распределении, как известно, с вероятностью 1 выборка удовлетворяет условию общности положения. Поэтому при 

и

с вероятностью 1. Таким образом, пока длина выборки меньше половины размерности пространства, максимальное уклонение частоты от вероятности остается большим.
3. Установим еще один критерий, который позволяет судить о наличии равномерной сходимости в тех случаях, когда достаточные условия не выполняются.
Теорема 11.2. Пусть в пространстве
заданы вероятностная мера
и система событий
. Допустим, что для всякого
можно указать системы
и
, удовлетворяющие условию равномерной сходимости, так что для всякого множества
найдутся множества
и
такие, что

и
,
.
Тогда для системы
также имеет место равномерная сходимость частот к вероятностям (по вероятности).
Доказательство. В самом деле, пусть
и
– произвольные числа. Выберем такое
, чтобы выполнялось
,
(11.25)
для всех
.
Возьмем произвольное событие
и найдем для него события
и
такие, что
и
,
. (11.26)
Тогда
. (11.27)
Сопоставляя (11.25), (11.26) и (11.27), получаем, что
.
Теорема доказана.
4. Приведем два примера, где применяется этот критерий.
Пусть
– счетное множество, на котором задана вероятностная мера
,
– произвольная система подмножеств. Занумеруем каким-либо образом элементы
. Поскольку
,
то по всякому
можно указать
такое, что
.
Обозначим конечное множество
через
. В качестве системы
возьмем все подмножества
, а в качестве
– все множества вида
,
где
произвольное подмножество
.
При этом для каждого
можно указать
и
, удовлетворяющие условию теоремы, а именно:
,
.
Поскольку системы
и
конечны, для них выполняется равномерная сходимость, а следовательно, она имеет место и для системы
. Таким образом, если
– счетное множество, то равномерная сходимость частот к вероятностям имеет место всегда. При этом система
может быть такой, что
. В этом случае скорость сходимости может быть сколь угодно низкой.
5. Рассмотрим еще один любопытный пример. Пусть
– двумерная плоскость, а система
состоит из всех выпуклых замкнутых множеств на плоскости. В этом случае
.
В самом деле, разместим
точек
на окружности (рис. 22).

Рис. 22.
Рассмотрим любую подпоследовательность
(на рисунке эти точки отмечены крестиками, а остальные – кружками). Вписанный замкнутый выпуклый многогранник с вершинами в точках
, очевидно, содержит эти точки и не содержит никаких других из числа
. Значит, система
индуцирует на
любую подвыборку:

и поэтому
.
Таким образом, в этом примере достаточные условия не выполнены.
Равномерная сходимость по классу событий
может выполняться или нет в зависимости от распределения. Например, если вероятностная мера сосредоточена на некоторой окружности и равномерно распределена по ней, то с вероятностью 1
,
как бы длинна ни была выборка.
В самом деле, с вероятностью 1 все точки выборки
лягут на окружность. Натянем на них выпуклую оболочку. Она представляет собой вписанный многогранник
с вершинами
. Этот многогранник содержит все точки
и пересекается с окружностью на множестве меры нуль.
Если же вероятность равномерно распределена в некотором круге
, то равномерная сходимость имеет место. Действительно, в этом случае достаточно рассмотреть систему
, состоящую из выпуклых замкнутых множеств, целиком вкладывающихся в круг
. Дело в том, что с вероятностью 1 все точки выборки лежат в круге. Поэтому для произвольного
и
оказывается
,
.
В свою очередь
будет замкнутым выпуклым множеством и вкладывается в круг
.
Таким образом, с вероятностью 1
.
Далее, элементарным построением можно показать, что по заданному
для всякого выпуклого множества из
можно найти вложенный в него и объемлющий его
-сторонние многоугольники, так что их мера отличается не более чем на
, причем число
можно зафиксировать для данного
.
Следовательно, выполнены условия теоремы настоящего параграфа, так как для систем
,
, состоящих из выпуклых многоугольников с фиксированным числом сторон, равномерная сходимость установлена (пример 5 § 8 главы X).
Значит, равномерная сходимость имеет место при исследуемом распределении и для произвольных выпуклых множеств.
Отметим, что во всех рассмотренных ранее примерах непрерывное распределение было наиболее неблагоприятным, а в данном случае ситуация обратная.