Глава XII. ОЦЕНКИ РАВНОМЕРНОГО ОТНОСИТЕЛЬНОГО УКЛОНЕНИЯ ЧАСТОТ ОТ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В КЛАССЕ СОБЫТИЙ

§ 1. О равномерном относительном уклонении

Полученные в главе X оценки скорости равномерной сходимости в действительности оказываются завышенными. Это связано с тем, что пришлось пойти на завышение оценок во избежание чрезмерной громоздкости самих оценок и технических сложностей при их выводе. Но в еще большей степени это вызвано тем, что, желая получить общий результат, пришлось ориентироваться на наихудший случай (с точки зрения оцениваемой величины) по тем параметрам, которые не входят явно в оценку.

В частности, для того чтобы уложиться в заданное абсолютное уклонение частоты от вероятности для некоторого события , придется взять большую выборку, если вероятность  близка к , и меньшую при , близком к 0 или 1. В самом деле, для  и допустимого уклонения в 1% (т. е. ) необходимо  показов, тогда как при  и том же допустимом уклонении достаточна длина выборки . Если же необходимо получить оценку сверху, не зависящую от , то приходится ориентироваться на наихудший случай, т. е. .

В нашем доказательстве тоже фактически необходимо было ориентироваться на тот случай, когда вероятности  всех событий близки к .

Вообще известно, что для фиксированного события  отклонение частоты от вероятности имеет порядок , если среднеквадратичное уклонение  частоты имеет порядок . В свою очередь

,

т. е. при фиксированном  отклонение пропорционально .

Поэтому естественно было бы и равномерное уклонение измерять в относительных единицах, т. е. потребовать, чтобы

.

Однако такого рода оценку при разумных предположениях удается получить только для равномерного уклонения частот в двух последующих полувыборках, нормированного к эмпирической оценке величины  по всей выборке. А именно, в следующем параграфе будет выведена оценка:

,

где  и  – частоты выпадения события  соответственно на первой и второй полувыборках, a  – частота выпадения  на полной выборке.

При этом достигается определенное «равноправие» событий класса . Что же касается равномерного относительного уклонения частот от вероятностей, то здесь удается получить одностороннюю оценку:

.                      (12.1)

Нормирующий делитель  при малых  близок к величине .

Эта оценка существенно отличается от полученных в главах X и XI только при малых , когда . В то же время при очень малых  оценка тривиальна, так как при этом всегда

.

Справедлива и симметричная односторонняя оценка, работающая при , близких к единице:

.

В главе V было показано, что для применения в теории обучения существенны именно односторонние относительные оценки уклонения частот от вероятностей.