§ 2. Оценка равномерного относительного уклонения частот в двух полувыборках

Схема вывода оценок относительного уклонения частот событий от их вероятностей остается той же, что и в главе X. Но теперь сначала получим оценку относительного уклонения в двух полувыборках, а затем применим ее для оценки максимального по классу относительного уклонения частоты от вероятности.

Теорема 12.1. Пусть задана система событий и ее функция роста . В серии независимых испытаний получена выборка и для каждого события подсчитаны частоты выпадения этого события в полувыборке , выпадения события в полувыборке и выпадения этого события на всей выборке . Справедлива оценка:

. (12.2)

Доказательство. Точно так же как при доказательстве теоремы 10.2, сведем дело к рассмотрению относительного уклонения частот для одного фиксированного события.

Обозначим через величину

Тогда оцениваемая вероятность равна

где

Рассмотрим опять всевозможные перестановки последовательности . Тогда

. (12.3)

Далее исследуется подынтегральное выражение. Теперь, так как выборка фиксирована, можно вместо рассматривать конечную систему , куда входят по одному представителю из каждого класса эквивалентности. Таким образом,

. (12.4)

Выражение в фигурных скобках и есть вероятность уклонения частот в двух полувыборках для фиксированного события для данного состава полной выборки.

Оно равно

где – число выпадений событий в полной выборке, а – число выпадения событий в первой полувыборке. Оно пробегает значения, удовлетворяющие неравенствам