§ 2. Оценка равномерного относительного уклонения частот в двух полувыборкахСхема вывода оценок относительного уклонения частот событий от их вероятностей остается той же, что и в главе X. Но теперь сначала получим оценку относительного уклонения в двух полувыборках, а затем применим ее для оценки максимального по классу относительного уклонения частоты от вероятности. Теорема 12.1. Пусть задана система событий и ее функция роста . В серии независимых испытаний получена выборка и для каждого события подсчитаны частоты выпадения этого события в полувыборке , выпадения события в полувыборке и выпадения этого события на всей выборке . Справедлива оценка: . (12.2) Доказательство. Точно так же как при доказательстве теоремы 10.2, сведем дело к рассмотрению относительного уклонения частот для одного фиксированного события. Обозначим через величину . Тогда оцениваемая вероятность равна , где Рассмотрим опять всевозможные перестановки последовательности . Тогда . (12.3) Далее исследуется подынтегральное выражение. Теперь, так как выборка фиксирована, можно вместо рассматривать конечную систему , куда входят по одному представителю из каждого класса эквивалентности. Таким образом, . (12.4) Выражение в фигурных скобках и есть вероятность уклонения частот в двух полувыборках для фиксированного события для данного состава полной выборки. Оно равно , где – число выпадений событий в полной выборке, а – число выпадения событий в первой полувыборке. Оно пробегает значения, удовлетворяющие неравенствам , . Обозначим через величину . Теперь можно воспользоваться неравенством (П.5), выведенным в приложении к главе X: . Подставляя сюда значение , получим (отметим, что эта оценка слабо зависит от , что и означает «равноправие» событий). Правая часть неравенства достигает максимума при или . Поэтому , откуда при , учитывая, что всегда , . Возвращаясь теперь к (12.4), получаем . Переходя к (12.2), получаем искомую оценку. Теорема доказана. Замечание. Точно так же можно получить оценку . (12.5) Отличие состоит лишь в том, что теперь . Подставляя эту величину в (П. 5), получаем . Первая часть неравенства достигает максимума при , откуда и, далее, при , учитывая, что всегда , . Далее, повторяя рассуждения теоремы 12.1, получаем требуемую оценку.
|