§ 3. Оценка равномерного относительного уклонения частот от вероятностей

Переход от оценок относительного уклонения частот в двух полувыборках к относительному уклонению частот от вероятностей ведется по той же схеме, что и при доказательстве основной леммы § 5 главы X. Трудность здесь состоит в том, что нормирующие делители  и  могут сильно отличаться при малых  для «наихудшего» события в классе. Поэтому выводится лишь односторонняя оценка, которая, как уже указывалось, фактически касается только событий, вероятность которых больше  (при  оценка тривиальна).

Теорема 12.2. Пусть  – система событий ,  – функция роста системы ,  – выборка, полученная в серии независимых испытаний с неизменным распределением. Тогда справедлива односторонняя оценка

.                     (12.6)

Доказательство. Обозначим через  событие, вероятность которого нам предстоит оценить:

.

Предположим теперь, что выборка продолжена до , и обозначим через  событие, вероятность которого оценена в предыдущем параграфе (12.5):

.

Покажем, что при определенных предположениях из  следует . Допустим, что событие  произошло. Это значит, что существует такое , что на первой полувыборке

.

Поскольку , то отсюда следует, что

.

Допустим теперь, что на второй полувыборке частота выпадения события  превзошла вероятность, т. е.

.                   (12.7)

Примем еще, что . При этих условиях обязательно выполняется событие .

Действительно, оценим величину

                   (12.8)

при условиях

,

; .

Для этого найдем минимум функции

в области , , . Имеем

, ,

следовательно,  достигает минимума в допустимой области при , .

Поэтому величина  будет оценена снизу, если в (12.8)  заменить на , a  заменить на . Таким образом

.

Далее, поскольку  и , имеем

.

Таким образом, при выполнении , а также условий  и  выполняется и .

Заметим, далее, что вторая полувыборка выбирается независимо от первой и, как известно, при  частота выпадения события  с вероятностью, большей 0,25, превышает .

Поэтому событие (12.7) выполняется при условии  с вероятностью, большей , если только . Значит, и событие  выполняется при этих условиях с вероятностью, большей .

Итак, при  выполняется неравенство

.

Но вероятность события  оценена выражением (12.5). Таким образом,

при . Но при  оценка тривиальна, так как  всегда не превосходит 1. Теорема доказана.

В заключение приведем простейший пример, показывающий принципиальную односторонность оценок вида (12.1).

Пусть  – интервал  и на нем задано равномерное распределение. Система  состоит из всевозможных множеств , каждое из которых есть интервал  такой, что ; при этом пусть мера каждого из  больше нуля. Покажем, что неравенство

не выполняется ни при каком  и ни при каком .

Действительно, пусть  – выборка. Рассмотрим интервал  при . Частота  не меньше , вероятность при достаточно малых  равна

.

Теперь при

получаем

.

В то же время в главе X было показано, что равномерная сходимость к нулю ненормированных уклонений имеет место. В силу теоремы 12.2 сходимость к нулю односторонних нормированных уклонений в этом примере также имеет место.