§ 3. Оценка равномерного относительного уклонения частот от вероятностей
Переход от оценок относительного уклонения частот в двух полувыборках к относительному уклонению частот от вероятностей ведется по той же схеме, что и при доказательстве основной леммы § 5 главы X. Трудность здесь состоит в том, что нормирующие делители
и
могут сильно отличаться при малых
для «наихудшего» события в классе. Поэтому выводится лишь односторонняя оценка, которая, как уже указывалось, фактически касается только событий, вероятность которых больше
(при
оценка тривиальна).
Теорема 12.2. Пусть
– система событий
,
– функция роста системы
,
– выборка, полученная в серии независимых испытаний с неизменным распределением. Тогда справедлива односторонняя оценка
. (12.6)
Доказательство. Обозначим через
событие, вероятность которого нам предстоит оценить:
.
Предположим теперь, что выборка продолжена до
, и обозначим через
событие, вероятность которого оценена в предыдущем параграфе (12.5):
.
Покажем, что при определенных предположениях из
следует
. Допустим, что событие
произошло. Это значит, что существует такое
, что на первой полувыборке
.
Поскольку
, то отсюда следует, что
.
Допустим теперь, что на второй полувыборке частота выпадения события
превзошла вероятность, т. е.
. (12.7)
Примем еще, что
. При этих условиях обязательно выполняется событие
.
Действительно, оценим величину
(12.8)
при условиях
,
;
.
Для этого найдем минимум функции

в области
,
,
. Имеем
,
,
следовательно,
достигает минимума в допустимой области при
,
.
Поэтому величина
будет оценена снизу, если в (12.8)
заменить на
, a
заменить на
. Таким образом
.
Далее, поскольку
и
, имеем
.
Таким образом, при выполнении
, а также условий
и
выполняется и
.
Заметим, далее, что вторая полувыборка выбирается независимо от первой и, как известно, при
частота выпадения события
с вероятностью, большей 0,25, превышает
.
Поэтому событие (12.7) выполняется при условии
с вероятностью, большей
, если только
. Значит, и событие
выполняется при этих условиях с вероятностью, большей
.
Итак, при
выполняется неравенство
.
Но вероятность события
оценена выражением (12.5). Таким образом,

при
. Но при
оценка тривиальна, так как
всегда не превосходит 1. Теорема доказана.
В заключение приведем простейший пример, показывающий принципиальную односторонность оценок вида (12.1).
Пусть
– интервал
и на нем задано равномерное распределение. Система
состоит из всевозможных множеств
, каждое из которых есть интервал
такой, что
; при этом пусть мера каждого из
больше нуля. Покажем, что неравенство

не выполняется ни при каком
и ни при каком
.
Действительно, пусть
– выборка. Рассмотрим интервал
при
. Частота
не меньше
, вероятность при достаточно малых
равна
.
Теперь при

получаем
.
В то же время в главе X было показано, что равномерная сходимость к нулю ненормированных уклонений имеет место. В силу теоремы 12.2 сходимость к нулю односторонних нормированных уклонений в этом примере также имеет место.