4. ПОНЯТИЕ НЕЧЕТКОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Теперь мы можем обобщить понятия, введенные в § 2, на так называемые нечеткие переменные. Нам будет удобно формализовать понятие нечеткой переменной аналогично тому, как это было сделано в определении 2.1 понятия обычной (не нечеткой) переменной.
Определение 4.1. Нечеткая переменная характеризуется тройкой
, где
— название переменной,
— универсальное множество (конечное или бесконечное),
— общее название элементов множества
,
— нечеткое подмножество множества
, представляющее собой нечеткое ограничение на значения переменной
, обусловленное
. [Как и в случае обычных (не нечетких) переменных, вместо
мы будем, как правило, писать сокращенно
,
или
, где
— общее название значений переменной
, и будем называть
ограничением на
или ограничением, обусловленным
.] Неограниченная обычная (не нечеткая) переменная
является для
базовой переменной.
Уравнение назначения для
имеет вид
(4.1)
и отражает то, что элементу
назначается значение
с учетом ограничения
.
Ту степень, с которой удовлетворяется это равенство, будем называть совместимостью значения
с
и обозначать ее через
. По определению
, (4.2)
где
— степень принадлежности
ограничению
.
Замечание 4.2. Важно отметить, что совместимость значения
не есть то же самое, что вероятность значения
. Совместимость
с
— это лишь мера того, насколько значение
удовлетворяет ограничению
; она не имеет никакого отношения к тому, насколько вероятно или невероятно это значение.
Замечание 4.3. Используя аналогию с саквояжем (см. замечание 2.4), нечеткую переменную можно уподобить саквояжу с ярлыком, имеющему мягкие стенки. Тогда
— надпись на ярлыке (название саквояжа),
— список предметов, которые в принципе можно поместить в саквояж, а
— часть этого списка, в которой для каждого предмета
указано число
, характеризующее степень легкости, с которой предмет
можно поместить в саквояж
(рис. 4.1).

Рис. 4.1. Аналогия с саквояжем для унарной нечеткой переменной
Чтобы упростить обозначения, удобно использовать один и тот же символ для
и
и положиться на контекст для разрешения возможных неопределенностей. Покажем это на следующем примере.
Пример 4.4. Рассмотрим нечеткую переменную, именуемую бюджет. Пусть
, а
определяется следующим образом (см. рис. 4.2):
. (4.3)
Тогда в уравнении назначения
(4.4)
совместимость значения
с ограничением
равна
. (4.5)
Как и в случае обычных (не нечетких) переменных, если
— нечеткие переменные в
соответственно, то
есть
-арная составная переменная в
. Соответственно этому в
-арном уравнении назначения вида
(4.6)
, – общее название значений переменной
,
— общее название элементов множества
;
–
-арное нечеткое отношение в
, представляющее собой ограничение, обусловленное переменной
.

Рис. 4.2. Функция совместимости нечеткой переменной бюджет.
Совместимость
с
определяется так:
, (4.7)
где
— функция принадлежности ограничения на
.
Пример 4.5. Предположим, что
;
близость по горизонтали;
близость по вертикали; и ограничение на
имеет вид
. (4.8)
Тогда совместимость значения
в уравнении назначения
(4.9)
равна
. (4.10)
Замечание 4.6. В аналогии с саквояжем (см. замечание 4.3)
-арную составную нечеткую переменную можно уподобить мягкому саквояжу
, имеющему
отделений
. Функция совместимости
характеризует степень легкости, с которой предметы
можно поместить в соответствующие отделения
одновременно (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Аналогия с саквояжем для бинарной нечеткой переменной.
Основной вопрос, который возникает при рассмотрении
-арного уравнения назначения, связан с разложением этого уравнения на последовательность
унарных уравнений назначения, как в (2.21). В случае нечетких переменных процесс разложения несколько более сложен и мы займемся им после того, как определим маргинальные и условные ограничения.