§ 1.8. О методах решения проблемы оптимальности

После того как проблема оптимальности сформулирована, т. е. после выбора критерия оптимальности, выяснения и установления ограничений первого и второго рода, наступает пора решения этой проблемы. И хотя теперь принято говорить, что постановка проблемы составляет от 50 до 80% успеха (в зависимости от темперамента говорящего это), тем не менее оставшиеся проценты часто настолько емки, что могут лишить нас этого успеха вообще.

Решение проблемы оптимальности сводится к определению такого вектора  (его уместно назвать оптимальным), который, удовлетворяя ограничениям, доставлял бы функционалу

                                                (1.20)

экстремальное значение.

Следует отметить, что в большинстве интересующих нас конкретных задач обычно нужно определить функции, являющиеся экстремалями тех или иных функционалов.

Процедура определения экстремалей часто сопровождается большими трудностями. Чтобы обойти эти трудности, можно использовать идеи прямых методов вариационного исчисления: заменить искомые экстремали комбинацией некоторых линейно независимых функций с неизвестными коэффициентами. Благодаря этому рассматриваемый функционал, зависящий от функции, заменяется функционалом, зависящим от вектора. С подобными примерами мы будем еще сталкиваться.

При наличии достаточной априорной информации нам известно явное выражение функционала  и ограничений как для детерминированных, так и для стохастических процессов. К функционалу  мы можем применять обычные подходы.

Обычные подходы весьма разнообразны и охватывают аналитические и алгоритмические методы. Аналитические методы на первый взгляд кажутся наиболее привлекательными, так как они приводят к явному формульному решению задач, но эта привлекательность достигается весьма дорогой ценой, ценой резкого ограничения возможностей. Эти методы пригодны для решения относительно простых задач, которые часто могут быть сформулированы лишь благодаря далеко идущей идеализации, иногда настолько далекой, что фактически вместо поставленной задачи решается совсем иная. Так, формулы для вычисления корней алгебраических уравнений имеют весьма простой вид для уравнений первой и второй степени. Такие формулы можно написать для уравнений третьей и четвертой степеней, хотя пользоваться ими уже значительно сложнее. Наконец, подобных формул просто не существует для уравнений, степень которых выше четвертой. Но можно ли всегда быть довольным, решая уравнение второй степени вместо уравнений высоких степеней?

Различного рода приближенные аналитические методы, например асимптотические, расширяют границы применимости, но ненамного.

Алгоритмические методы, еще в недавнее время не привлекавшие большого внимания, не дают явного формульного решения задач, а лишь указывают алгоритм, т. е. последовательность действий, операций, осуществление которых приводит к искомому конкретному решению. Алгоритмические методы возникли на почве численного решения различного рода уравнений и теперь в связи с широким применением вычислительных машин приобретают доминирующее значение.

Алгоритмические методы дают не столько решение, сколько способ нахождения этого решения с помощью, например, рекуррентных соотношений. Это обстоятельство существенно расширяет возможности алгоритмического метода по сравнению с аналитическими методами. Но даже в тех случаях, когда применение аналитических методов принципиально возможно, иногда предпочитают использовать алгоритмические методы, так как они дают более быстрый и удобный путь получения искомого результата. Вряд ли при здравом подходе для решения системы линейных алгебраических уравнений высокого порядка мы применим классическое правило Крамера, а не воспользуемся одним из многочисленных итеративных методов. Если функционал явно неизвестен, то обычные подходы непосредственно неприменимы, и для устранения неопределенности, вызванной малым объемом априорной информации, следует использовать адаптивный подход. Адаптивный подход связан преимущественно с алгоритмическими, а точнее, итеративными методами. Подробно об алгоритмических методах оптимизации мы будем говорить в следующих двух главах.