§ 2.2. Условия оптимальности

Для детерминированных и стохастических процессов при достаточной априорной информации (а только этот случай и будет рассматриваться в настоящей главе) критерий оптимальности, т. е. функционал , известен в явной форме, известны также и ограничения. Вначале, если не оговаривается противное, будем предполагать, что ограничения второго рода отсутствуют, а ограничения первого рода, как это часто бывает, исключены путем подстановки в функционал. При этом, разумеется, первоначальная размерность искомого вектора с уменьшается.

Если функционал  допускает дифференцирование, то он достигает экстремума (максимума или минимума) только при таких значениях, для которых  частных производных       одновременно обращаются в нуль, или, иначе говоря, для которых градиент функционала

                                 (2.1)

обращается в нуль.

Векторы , удовлетворяющие условию

,                                                                     (2.2)

называются стационарными или особыми. Не все стационарные векторы оптимальны, т. е. соответствуют нужному экстремуму функционала. Поэтому условие (2.2) является лишь необходимым условием оптимальности.

Можно было бы выписать и достаточные условия экстремума в виде неравенств относительно определителей, содержащих частные производные второго порядка функционала по всем компонентам вектора. Однако вряд ли это стоит делать даже в тех случаях, когда это не требует громоздких выкладок и вычислений.

Часто, исходя непосредственно из условий физической задачи, для которой построен функционал, удается определить, чему соответствует стационарный вектор, — минимуму или максимуму. Особенно легко это устанавливается в тех часто встречающихся и интересных для нас случаях, когда имеется всего один экстремум.

Условия оптимальности выделяют лишь локальные экстремумы, и если их много, то задача нахождения абсолютного или глобального экстремума становится очень сложной. Некоторые возможности решения этой задачи мы обсудим несколько позже.

Сейчас же мы ограничимся тем случаем, когда оптимальное значение вектора  единственно, и для определенности будем считать, что экстремальное значение функционала представляет собой минимум.