§ 8.12. Повышение надежности путем избыточности

Пусть входной сигнал  поступает одновременно по  однотипным каналам. Выходной сигнал -гo канала связи  из-за наличия помехи  будет отличаться от входного,  так что

.                            (8.39)

Мы будем полагать, что сигнал  и помехи  не коррелированы и, кроме того,  и  при  также не коррелированы. Задача состоит в получении наилучшей в определенном смысле оценки истинного значения сигнала , который должен быть использован в системе. Мерой оценки будем считать средний квадрат отклонения выходного сигнала  от истинного  . Будем искать оценку истинного значения сигнала в  виде

               (8.40)

или, кратко,

,

где  — пока не известный вектор коэффициентов. Именно такой вид оценки является наилучшим согласно принципу максимального правдоподобия и методу наименьших квадратов, если распределение вероятностей помех  гауссово.

Найдем вектор коэффициентов  так, чтобы функционал

,              (8.41)

где  — выпуклая функция, достигал минимума.

Допустим, что после каждого измерения  мы можем хотя бы по одному (например, -му) каналу определить значение  помехи

 при .                (8.42)

Это можно сделать, если удастся выделить интервалы времени, когда отсутствует входной сигнал, и измерить помеху. С учетом (8.39) и (8.40) мы можем записать (8.41) так:

.                    (8.43)

Градиент реализации легко вычислить, воспользовавшись зависимостью

.      (8.44)

Он всегда может быть определен по реализации  и измерениям  в интервалы времени отсутствия сигнала. Тогда на основе алгоритма адаптации мы получим

.   (8.45)

Если бы дисперсия  помехи  была заранее известна,   то   для   частного   случая,   когда  — квадратичная парабола, надобность в адаптации отпала бы, и непосредственно из (8.43) можно было бы заранее определить оптимальные векторы коэффициентов  по  формуле

,                             (8.46)

где

.             (8.47)

Адаптивный подход целесообразно применять, если априорная информация о помехе заранее неизвестна. Разумеется, в этом простейшем случае можно было бы использовать адаптивные алгоритмы для вычисления дисперсии помехи, а оптимальные параметры определять уже по формуле  (8.46).