§ 10.2. Понятие игры

В игре обычно принимают участие несколько лиц — игроков, интересы которых различны. Действия игроков, называемые ходами, состоят в выборе из множества возможных вариантов какого-либо конкретного варианта. Игра характеризуется системой правил, которые определяют порядок ходов, выигрыши и проигрыши игроков в зависимости от сделанных ими ходов. Во время игры возникают различные ситуации, в которых игроки должны сделать выбор. Полная система указаний, определяющих этот выбор во всех возможных ситуациях, и представляет собой стратегию каждого из игроков.

В результате игры игрок стремится максимизировать свой выигрыш. Но, разумеется, не всем игрокам это удается сделать. Приведенное описание игры, очень похожей на многие азартные игры, с которыми мы сталкиваемся в жизни, настолько общее, что оно удобно для популяризации теории игр, но вряд ли пригодно для получения каких-либо конкретных результатов. Поэтому мы остановимся на частных видах игр, теория которых довольно хорошо развита. Далее речь будет идти о матричных играх двух лиц с нулевой суммой, т. е. таких игр, в которых интересы игроков прямо противоположны и выигрыш одного игрока равен проигрышу второго.

Матричные игры двух лиц с нулевой суммой характеризуются платежной матрицей

                                 (10.1)

Игра состоит в выборе первым игроком некоторой стратегии  из  возможных и вторым игроком — стратегии  из  возможных. Выигрыш первого игрока, а значит и проигрыш второго игрока, равен величине . Выбор стратегий  и  может производиться и случайно, согласно распределениям

                                      (10.2)

В этом случае исход игры также будет случайным, и его нужно оценивать по математическому ожиданию — платежной функции:

                         (10.3)

Такая игра называется игрой в смешанных стратегиях.

Распределения (10.2) должны удовлетворять обычным для распределений условиям

                                             (10.4)

означающим, что  и  принадлежат симплексу. Смешанные стратегии игроков определяются векторами  и , причем -я компонента каждого вектора равна вероятности применения -й чистой стратегии. Если эта вероятность равна единице, то мы снова приходим к игре в чистых стратегиях.

Далее мы будем обозначать чистые стратегии первого и второго игроков в виде единичных векторов

                                    (10.5)

Следует отметить, что при заданных, согласно (10.2), распределениях  и

                  (10.6)

Отсюда следует, что компоненты смешанных стратегий представляют собой математическое ожидание от применяемых соответствующих чистых стратегий. Соотношения (10.6) удобно представить в векторной форме

                                                  (10.7)

где

                                      (10.8)

— наборы единичных векторов (10.5).