§ 4.15. О восстановлении плотности распределения и моментов

Для восстановления совместной плотности распределения  по показам  предположим, что  можно аппроксимировать конечным набором произвольных, но теперь еще и ортонормированных функций , т. е.

.                         (4.49)

Оптимальным значением вектора  будем считать то, при котором квадратичная мера уклонения

                 (4.50)

достигает минимума. Эта задача внешне напоминает задачу об аппроксимации, которой мы до сих пор занимались. Но здесь имеется существенное отличие, которое состоит в том, что теперь указаний извне нет. Поэтому не только вектор , но и сама функция , которой соответствует в данном случае плотность распределения, также неизвестны. Однако это затруднение — только кажущееся. Легко видеть, что в силу ортонормированности функции  мера (4.50) достигает минимума при

.                           (4.51)

Таким образом, оптимальное значение вектора  равно математическому ожиданию вектор-функции , значения реализаций которой нам известны.

Из (4.51), в частности, следует, что если взять «степенные» функции, то компоненты вектора  будут определять моменты соответствующего порядка. Таким образом, мы имеем возможность схожими алгоритмами решить задачу оценки моментов и восстановления плотности распределения. Однако нужно иметь в виду, что, поскольку «степенные» функции не ортонормальны, то найденные по формуле (4.51) значения вектора  не минимизируют функционал (4.50).

Если отказаться от ортонормированности системы функций , а считать их только линейно независимыми, то вместо простого соотношения (4.51) мы можем получить более сложное соотношение, которое реализуется с помощью взаимно связанных систем. Но стоит ли идти на обобщение, приводящее к более сложной реализации и не сулящей при этом каких-либо явных выгод?