§ 5.2. Оценка среднего значения
Для уяснения физического смысла и ряда особенностей алгоритмов адаптации мы начнем с простейшей задачи — оценки среднего значения случайного процесса
(5.1)
где
— неизвестная постоянная, а
— помеха с нулевым средним значением и конечной дисперсией. Такая задача возникает, например, при обработке результатов измерений или при выделении постоянного сигнала на фоне шумов. Наблюдаемая величина
— это реализация, которую только мы и можем измерять или обрабатывать.
Если ошибки, вызываемые помехой, равновероятны, то наилучшей оценкой после
наблюдений будет среднее арифметическое
(5.2)
Подставляя сюда
из (5.1), получим
(5.3)
Отсюда следует, что с ростом числа наблюдений влияние помех уменьшается, и оценка
стремится к искомому значению
.
Преобразуем теперь оценку (5.2):
(5.4)
или
(5.5)
Соотношение (5.5) показывает, что с ростом
влияние новой информации
падает, поскольку вес ее, равный
, обратно пропорционален числу измерений, и при этом
стремится к
. Этот факт часто подтверждается и в жизни: мы должны основывать наши решения на прошлом опыте, не придавая слишком большого веса новой информации, которая сама по себе может вызвать лишь шарахания из стороны в сторону. Формулы вида (5.5) издавна использовались при юстировке точных приборов или при пристрелке во время стрельбы в форме правила:
-я поправка берется равной
от величины полного отклонения.