23. Линейные системы

Допустим, на вход некоторой линейной системы  подается входной сигнал . При этом на выходе этой системы наблюдается сигнал . Спрашивается, как смоделировать работу «черного ящика» , зная входной и наблюдая выходной сигналы? Так как имеется возможность выбирать любые входные сигналы, то подадим на вход дельта-импульс

На выходе получим некоторую последовательность , которая называется откликом на единичное входное воздействие, или импульсным откликом. В силу линейности системы изменение масштаба дельта-импульса приведет к аналогичному изменению выходной последовательности , т.е. . При этом любые дискретные сигналы можно рассматривать как последовательности дельта-импульсов с разными масштабами: . Подадим на вход линейной системы последовательность  дельта-импульсов: . Каждый входной отсчет сигнала  будет генерировать смещенную последовательность  (рис. 5).

Рис. 5. Формирование выходного сигнала в линейных системах с постоянными параметрами

Следовательно, при произвольном входном сигнале линейной системы с постоянными параметрами, выходной будет определяться выражением

.                                             (13)

Таким образом, работа линейной системы полностью определяется импульсным откликом  этой системы.

Рассмотрим реакцию линейной системы на входное воздействие , которое описывает комплексную синусоиду с частотой . После подстановки в выражение (13) данного выражения, получим

,      (14)

где  - частотная характеристика системы. Таким образом, пропуская комплексную синусоиду через линейную системы, получаем ту же самую синусоиду, но с измененными амплитудой и фазой . Представление частотной характеристики на комплексной плоскости показано на рис. 6.

Рис. 6. Представление частотной характеристики на комплексной плоскости

Из рис. 6 видно, что частотную характеристику можно записать в следующем виде:

,

где  - начальная фаза; . Начальную фазу можно выразить через отношения мнимой и действительной частей частотной характеристики:

.

Так как частотная характеристика  связана с импульсным откликом  через преобразование Фурье, то

.                                         (15)

Если , то комплексные синусоиды данной частоты проходят через линейную систему без искажений. Соответственно, если , то комплексные синусоиды данной частоты не пропускаются. Используя это свойство частотной характеристики можно выполнять фильтрацию сигналов. Например, при идеальной низкочастотной фильтрации можно положить

Из выражения (15) импульсная характеристика такого фильтра  и определена на интервале . Поэтому в общем случае реализовать на практике идеальный фильтр низких частот невозможно. Аналогичное выражение импульсной характеристики можно получить для фильтра высоких частот, который также является нереализуемым.

Вычисление свертки (13) можно выполнить в частотной области. Известно, что сигнал  связан со своим образом в частотной области преобразованием Фурье:

,

.

При этом если на вход линейной системы подать последовательность , то по аналогии с выражением (14) получим отклик . С помощью обратного преобразования Фурье получаем

,

или в частотной области

.                                                  (16)

Таким образом, свертка в частотной области представляет собой умножение сигнала  на частотную характеристику фильтра .

Приведенные выражения преобразования сигнала можно обобщить на двумерный случай. При этом получим следующие выражения:

,

.

Допустим, что двумерный импульсный отклик . Тогда выходной сигнал можно записать в виде

                 (17)

Выражение (17) описывает разделимое преобразование входного сигнала  в линейной системе. При этом для вычисления одного отсчета требуется  арифметических операций, тогда как для неразделимых . Следует отметить, что на практике не всегда удается построить фильтр, который можно представить в разделимом виде. В таких случаях пытаются аппроксимировать неразделимый импульсный отклик разделимым, либо уменьшить область весового суммирования .

Несколько линейных систем можно соединить последовательно и параллельно. Пусть имеются импульсные отклики двух линейных систем  и . Рассмотрим последовательное соединение этих систем (рис. 7)

Рис. 7. Последовательное соединение линейных систем

Выходной сигнал

,

где знак ** обозначает двумерную свертку. Таким образом, две последовательно соединенные линейные системы можно заменить одной с эквивалентным импульсным откликом

.

При параллельном соединении линейных систем (рис. 8) выходной сигнал определяется выражением

Следовательно, две параллельно соединенные линейные системы можно заменить одной с эквивалентным импульсным откликом

.

Рис. 8. Параллельное соединение линейных систем

На практике представляют интерес лишь устойчивые системы, т.е. когда при ограниченной входной последовательности выходная последовательность также ограничена. Для таких систем при  должно существовать такое , что  для всех . Необходимым и достаточным условием принадлежности линейной системы к классу устойчивых систем является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика

.