1.1. Тензорные стохастические разностные уравнения
Рассмотрим представление изменяющихся в дискретном времени СП на многомерных сетках с помощью тензорных уравнений состояния [11, 12]. Такое представление можно характеризовать как обобщение известных динамических моделей [19-21], составляющих фундамент современной теории калмановской фильтрации векторных случайных последовательностей. Проанализируем вначале описание последовательности изменяющихся кадров многомерных изображений с помощью наиболее простого по структуре линейного тензорного стохастического разностного уравнения:
, (1.1)
где - СП независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и единичными диспесиями; и - тензоры ранга 2n с двумя групповыми индексами и ; - ограниченные области n-мерного пространства -точек с целочисленными координатами. Заметим, что в соответствии с правилами умножения тензоров [22]
,
т.е. производится суммирование по одинаковым нижним индексам. При этом верхний индекс t соответствует дискретному времени и означает номер сечения (кадра) СП; суммирование по нему не производится.
Рекуррентное соотношение (1.1) определяет, вообще говоря, неоднородное и нестационарное гауссовское марковское СП на прямом произведении . При этом свойство марковости СП устанавливается относительно сечения Гt0= , разделяющего СП на “прошлое” и будущее . Действительно, условные плотности распределения вероятностей вероятностей (ПРВ) с учетом (1.1) могут быть записаны в виде , что и устанавливает марковость СП относительно граничных значений  .
При заданных тензорах и внутрикадровых ковариациях начального кадра модель (1.1) полностью определяет в дискретном времени СП на n-мерной сетке . Для того, чтобы убедиться в этом умножим левую и правую части (1.1) на и найдем математические ожидания. После выполнения элементарных операций получим рекуррентную связь между тензорами внутрикадровых ковариаций и в виде:
(1.2)
Аналогично, после умножения (1.1) на , находим следующее соотношение
(1.3)
для определения тензоров межкадровых ковариаций.
В стационарном случае, когда , , все корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга и соответствующим образом выбран тензор начальных условий, модель (1.1) порождает СП с постоянными значениями и . При этом тензор внутрикадровых ковариаций может быть найден с помощью формулы (1.2), которая преобразуется в систему линейных уравнений
. (1.4)
После решения этой системы относительно легко находится тензор внутрикадровых ковариаций: .
Таким образом, при заданных параметрах модели (1.1) можно с помощью приведенных соотношений решить задачу анализа, т.е. задачи нахождения вероятностных характеристик гауссовского марковского СП .
Рассмотрим теперь решение задачи синтеза модели (1.1), т.е. задачу нахождения тензоров и при заданных тензорах внутрикадровых и межкадровых ковариаций. В этом случае (1.3) представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных элементов тензора . После решения этой системы каждый тензор может быть найден с помощью представления симметричного тензора (1.2) в виде произведения на основе, например, ортогонализации Грама-Шмидта.
Рассмотрим некоторые частные, но важные для приложений случаи СП, порождаемых уравнением (1.1). Предположим, что стационарное СП имеет ковариационную функцию (КФ) следующего вида
, (1.5)
где – коэффициент корреляции между соответствующими элементами и двух соседних кадров СП. В этом случае и уравнение (1.1) перепишется в виде
. (1.6)
Анализ (1.6) показывает, что очередной кадр СП формируется на основе суммирования предыдущего кадра и возмущающего поля случайных величин . При этом КФ возмущающего поля с точностью до множителя совпадает с внутрикадровыми корреляциями СП . Таким образом, для решения задачи синтеза модели (1.6) достаточно найти коэффициенты линейной комбинации , обеспечивающие равенство КФ случайных полей и .
Обобщением рассмотренной тензорной модели (1.1) служит нелинейное стохастическое разностное уравнение
, (1.7)
позволяющее описать весьма широкий класс марковских негауссовских СП на n-мерных сетках . Здесь , поле независимых, вообще говоря, негауссовских случайных величин с известными ПРВ ; и - тензоры рангов n и 2n соответственно, в общем случае нелинейно зависящие от значений (t-1) - го кадра многомерного СП . При известном распределении первого кадра СП может быть записано совместное распределение , где условные ПРВ , находятся с учетом (1.7) и обычных правил функционального преобразования системы случайных величин с известным распределением.
К сожалению, попытки найти решение задачи синтеза модели (1.7) т.е. построения нелинейных функций и по заданным распределениям вероятностей , приводят к положительным результатам лишь в отдельных частных случаях [11,12].
|