1.1. Тензорные стохастические разностные уравнения

Рассмотрим представление изменяющихся в дискретном времени СП на многомерных сетках с помощью тензорных уравнений состояния [11, 12]. Такое представление можно характеризовать как обобщение известных динамических моделей [19-21], составляющих фундамент современной теории калмановской фильтрации векторных случайных последовательностей. Проанализируем вначале описание последовательности изменяющихся кадров многомерных изображений с помощью наиболее простого по структуре  линейного тензорного стохастического разностного уравнения:

 ,                          (1.1)

где  - СП независимых гауссовских случайных величин с нулевыми средними и единичными диспесиями;  и  - тензоры ранга 2n с двумя групповыми индексами  и ;  - ограниченные области n-мерного пространства -точек с целочисленными координатами. Заметим, что в соответствии с правилами умножения тензоров [22]

,

т.е. производится суммирование по одинаковым нижним индексам. При этом верхний индекс t соответствует дискретному времени и означает номер сечения (кадра) СП; суммирование по нему не производится.

Рекуррентное соотношение (1.1) определяет, вообще говоря, неоднородное и нестационарное гауссовское марковское СП на прямом произведении . При этом свойство марковости СП   устанавливается относительно сечения Гt0=, разделяющего СП на “прошлое”  и будущее . Действительно, условные плотности распределения вероятностей  вероятностей (ПРВ) с учетом (1.1) могут быть записаны в виде , что и устанавливает марковость СП относительно граничных значений .

         При заданных тензорах  и внутрикадровых ковариациях  начального кадра модель (1.1) полностью определяет в дискретном времени СП на n-мерной сетке . Для того, чтобы убедиться в этом умножим левую и правую части (1.1) на  и найдем математические ожидания. После выполнения элементарных операций получим рекуррентную связь между тензорами внутрикадровых ковариаций  и  в виде:

                                                (1.2)

Аналогично, после умножения (1.1) на , находим следующее соотношение

                                                           (1.3)

для определения тензоров  межкадровых ковариаций.

         В стационарном случае, когда , , все корни характеристического уравнения  лежат внутри единичного круга и соответствующим образом выбран тензор  начальных условий, модель (1.1) порождает СП с постоянными значениями  и . При этом тензор внутрикадровых ковариаций  может быть найден с помощью формулы (1.2), которая преобразуется в систему линейных уравнений

.                                                (1.4)

После решения этой системы относительно  легко находится тензор внутрикадровых ковариаций: .

         Таким образом, при заданных параметрах модели (1.1) можно с помощью приведенных соотношений  решить задачу анализа, т.е. задачи нахождения вероятностных характеристик гауссовского марковского СП .

         Рассмотрим теперь решение задачи синтеза модели (1.1), т.е. задачу нахождения тензоров  и  при заданных тензорах внутрикадровых  и межкадровых  ковариаций. В этом случае (1.3) представляет собой систему линейных уравнений относительно неизвестных элементов тензора . После решения этой системы каждый тензор  может быть найден с помощью представления симметричного тензора (1.2) в виде произведения  на основе, например, ортогонализации Грама-Шмидта.

          Рассмотрим некоторые частные, но важные для приложений случаи СП, порождаемых уравнением (1.1). Предположим, что стационарное СП имеет ковариационную функцию (КФ) следующего вида

,                            (1.5)

где  – коэффициент корреляции между соответствующими элементами  и  двух соседних кадров СП. В этом случае  и уравнение (1.1) перепишется в виде

.                          (1.6)

Анализ (1.6) показывает, что очередной кадр СП  формируется на основе суммирования предыдущего кадра  и возмущающего поля случайных величин . При этом КФ возмущающего поля  с точностью до множителя  совпадает с внутрикадровыми корреляциями СП . Таким образом, для решения задачи синтеза модели (1.6) достаточно найти коэффициенты  линейной комбинации , обеспечивающие равенство КФ случайных полей  и .

         Обобщением рассмотренной тензорной модели (1.1) служит нелинейное стохастическое разностное уравнение

,    (1.7)

позволяющее описать весьма широкий класс марковских негауссовских СП на n-мерных сетках . Здесь , поле независимых, вообще говоря, негауссовских случайных величин с известными ПРВ;  и  - тензоры рангов n и 2n соответственно, в общем случае нелинейно зависящие от значений  (t-1) - го кадра многомерного СП . При известном распределении   первого кадра СП может быть записано совместное распределение, где условные ПРВ , находятся с учетом (1.7) и обычных правил функционального преобразования  системы случайных величин  с известным распределением.

         К сожалению, попытки найти решение задачи синтеза модели (1.7) т.е. построения нелинейных функций  и  по заданным распределениям вероятностей , приводят к положительным результатам лишь в отдельных частных случаях [11,12].