2.1. Оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов

Во многих приложениях возникает задача обнаружения аномалий, которые могут появиться на очередном многомерном кадре последовательности изображений. Такими аномалиями могут быть, например, очаги лесных пожаров, патологические изменения на медицинских изображениях, новые объекты в охраняемой зоне и др. При этом задача обнаружения формализуется следующим образом, Пусть производятся наблюдения

                                         (2.1)

СП  с пространственно-временными корреляционными связями и СП  независимых случайных величин с нулевыми средними и дисперсиями . Вектор параметров  позволяет учесть, например, возможные взаимные пространственные смещения и повороты соседних кадров изображения.

         Появление детерминированного сигнала приводит к изменению модели (2.1) лишь в области индексов  (рис. 1) последнего из наблюдаемых кадров:

                                              (2.2)

где  - совокупность отсчетов полезного сигнала.

В рассмотренных условиях необходимо найти правило проверки гипотезы Н0 об отсутствии аномалии в области G при альтернативном предположении Н1 о справедливости модели (2.2).

При заданных вероятностных характеристиках компонент моделей (2.1), (2.2) могут быть определены соответствующие условные плотности распределения вероятностей (ПРВ) наблюдений W(Z|Н0) и W(Z|Н1). Поэтому для решения задачи обнаружения следует воспользоваться сравнением с пороговым уровнем  отношения правдоподобия (ОП):

                                          (2.3)

Для упрощения вычислений представим условные ПРВ в виде произведений: , где ZG - совокупность наблюдений по области G; Z0 - совокупность всех наблюдений, не принадлежащих области предполагаемого сигнала. Поскольку , ОП (2.3) перепишется в форме:

.                                                      (2.4)

Будем аппроксимировать условные ПРВ, входящие в ОП (2.4), гауссовскими распределениями:

,

где ,  и , , - условные математические ожидания и пространственные ковариационные матрицы наблюдений ZG при отсутствии и наличии полезного сигнала соответственно.

С учетом моделей наблюдений (2.1), (2.2) нетрудно получить следующие формулы для условных средних  , где  - оптимальный прогноз значений СП  , построенный на основе всех имеющихся наблюдений Z0 , не принадлежащих области сигнала. Пространственные матрицы V0 и V1 оказываются одинаковыми:, где  - ковариационная матрица ошибок оптимального прогноза.

         После подстановки приведенных соотношений в (2.4), (2.5) и логарифмирования находим следующий алгоритм обнаружения сигнала:

,                               (2.6)

где- порог обнаружения. Как следует из формулы (2.6), процедура обнаружения аномалий включает в себя компенсацию мешающих изображений с помощью вычитания из наблюдения  оптимального прогноза , найденного на основе всех наблюдений, не принадлежащих области G. После компенсации мешающих СП осуществляется линейное весовое cуммирование остатков

Применяя формулу Фробениуса обращения блочных матриц, можно показать, что статистика приводиться к эквивалентному виду:

,

где ,- оптимальный прогноз значения , построенный на основе всех имеющихся наблюдений, кроме ; . -дисперсия ошибки этого прогноза. В отличие от  будем называть  "прогнозом в точку". При обнаружении аномалий во всевозможных областях G с большим числом элементов "прогноз в точку" может быть найден с помощью значительно меньшего числа вычислительных операций, чем "прогноз в область" .

         Еще одна форма записи оптимальной процедуры обнаружения может быть получена в предположении, что полезный сигнал может занимать все имеющиеся кадры изображения, т.е. область G включает все многомерные сетки . Тогда наилучший прогноз , и алгоритм (2.6) принимает вид:

,                                                      (2.8)

где ;  - ковариационная матрица мешающего изображения.

         Непосредственная реализация процедуры (2.8) затруднительна из-за большого числа вычислительных операций. Тем не менее, раскладывая пространственную симметрическую матрицу в произведение двух треугольных , можно представить (2.8) в форме

                                  (2.9)

соответствующий предварительному "выбеливанию" [2,10,24] последовательности изображений , и последующему весовому суммированию с весами . Во многих случаях такой подход позволяет найти приемлемые для практики квазиоптимальные алгоритмы "выбеливания" [26, 27]. При этом самостоятельное рассмотрение адаптивных рекурсивных фильтров, близких по свойствам к выбеливающим, является важным направлением поиска возможностей относительно простой технической или программной реализации системы обработки последовательностей изображений. Новым качеством, которым обладают алгоритмы (2.7), (2.8) и (2.9) по отношению к (2.6), является разделение трудоемкой операции оптимального прогнозирования или выбеливания, не связанной с формой сигнала, и относительно простого весового суммирования, учитывающего вид полезного сигнала. Это позволяет достаточно просто решать как задачи обнаружения аномалий с неизвестными параметрами положения, так и более сложные проблемы многоальтернативного обнаружения (распознавания) нескольких видов сигналов [19-21].

         Приведенные результаты позволяют уточнить условия, при которых справедлива предложенная замена условных ПРВ нормальными распределениями. Прежде всего, это широкий класс с гауссовскими моделями (2.1), (2.2). В этих случаях процедуры (2.6), (2.7), (2.9) строго оптимальны. При негауссовских компонентах моделей (2.1), (2.2) достаточным условием оптимальности служит возможность аппроксимации апостериорной ПРВ прогноза  нормальным распределением. Заметим, что последнее условие выполняется и во многих прикладных задачах обработки СП со значительными пространственно-временными корреляционными связями и обычно эквивалентно условию высокой апостериорной точности прогнозирования.