2.2. Эффективность обнаружения аномалий

На основе синтезированных оптимальных алгоритмов обнаружения аномалий могут быть построены относительно простые квазиоптимальные решающие правила, использующие только часть имеющихся наблюдений, различные методы прогнозирования или декоррелляции. В этих случаях, а также при исследовании потенциальных возможностей реальных систем обнаружения возникает задача расчета характеристик оптимальных алгоритмов.

При гауссовской аппроксимации условные распределения статистик (2.6)¸(2.9) будут также гауссовскими. Поэтому для расчета эффективности обнаружения аномалий достаточно найти условные моменты статистики (2.6):  Таким образом, при заданной квантили  уровня  нормального распределения может быть определен порог обнаружения  и вероятность правильного обнаружения

                                               (2.10)

где

Можно показать, что существует простая связь между пространственными ковариационными матрицами  ошибок оптимального прогнозирования и  ошибок оптимального линейного оценивания . Действительно, анализируя уравнения Винера-Хопфа для многомерного дискретного СП [13, 19], получим следующее соотношение

где  Подставляя найденную связь между матрицами в (2.10), находим полезную формулу для расчета эффективности обнаружения сигналов:

                                (2.11)

При отсутствии мешающих изображений  или точном их оценивании  и тогда эффективность обнаружения детерминированного на фоне белого шума определяется известным отношением сигнал/шум. Появление помех  с пространственно-временной корреляцией приводит к снижению эффективности обнаружения, мерой которого служит ненулевая ковариационная матрица оптимального оценивания СП  на фоне белого шума .

         Рассмотрим два важных примера расчета потенциальной эффективности обнаружения точечных аномалий.

         Предположим, что осуществляется обнаружение точечного сигнала , занимающего один элемент G сетки . В этом случае

,

где  - отношение сигнал / шум;  - дисперсия ошибки при оптимальном оценивании одного элемента СП , на основе всех имеющихся наблюдений . Величины дисперсии ошибки  может быть найдена с помощью известных методов теории оптимального оценивания СП, наблюдаемых на фоне помех [3, 13, 14, 19]. В следующей части настоящей статьи будут рассмотрены также простые и компактные соотношения, позволяющие расчитать  и, следовательно, характеристики оптимального обнаружения для СП любой размерности.

         Рассмотрим теперь более сложную задачу обнаружения точечного объекта по результатам наблюдения совокупности  изображений размером  элементов (рис.7). Такая задача возникает, в частности, при многозональных наблюдениях одного и того же объекта с помощью различных систем, функционирующих, например, в различных спектральных диапазонах [2-5, 13]. В этом случае модель наблюдений (2.1) запишется в виде

.

Будем полагать, что массивы данных , пространственно совмещены и поэтому появление полезного сигнала приводит к увеличению уровня СП на величину  в одном и том же элементе с номером  каждого калра изображения (рис.7). Ковариационную функцию мешающих изображений представим в форме

,

где  одна и та же ковариационная функция каждого из  кадров изображения; , если , и . Заметим, что такое представление означает равенство корреляционных расстояний между любой парой из  анализируемых кадров изображений. После несложных, но довольно трудоемких вычислений можно показать, что формула (2.11) для рассматриваемой задачи преобразуется к виду:

,

где  и  - прямое и обратное двумерное дискретное преобразование Фурье; .

         Анализ полученного соотношения позволяет сделать следующие важные выводы относительно эффективности оптимального обнаружения точечных аномалий на произвольном числе  одновременно обрабатываемых изображений.

         При отсутствии межкадровой корреляции  совместная обработка  кадров дает выигрыш в пороговом сигнале в  раз по отношению к случаю обнаружения сигнала на одном кадре изображения независимо от вида ковариационной функции  и размеров  кадра.

         Межкадровая корреляция  приводит к потерям в эффективности обнаружения, соответствующим дополнительному увеличению дисперсии  мешающих изображений в  раз.

         Перечисленные свойства позволяют легко пересчитать характеристики обнаружения точечных аномалий на одном - единственном кадре изображения [13] для случая совместной обработки произвольного числа взаимно-коррелированных кадров изображений.