2.3. Адаптивные рекуррентные алгоритмы декорреляции случайных полей

Рассмотрим гауссовское случайное поле (СП) , =(,,…, )ÎW, заданное на n-мерной прямоугольной сетке W={, k=1,2,…,n}. Математическое ожидание СП M{}=0, , а корреляционная функция (КФ) {}=M{×} априори неизвестна и может изменяться в процессе наблюдения. Необходимо построить адаптивное линейное рекуррентное преобразование

=L{},                                                    (2.12)

обеспечивающее выполнение условия

{}= M{×}®0,      .                       (2.13)

Будем предполагать, что на сетке W определено правило линейного упорядочивания точек ÎW, на основе которого можно определить, что элемент   предшествует элементу  [6,14]. Такое правило даёт возможность установить вид развёртки, т.е. вид преобразования массива данных {} в последовательность чисел  при рекуррентной обработке многомерного изображения.

    Для рекуррентной декорреляции СП {} воспользуемся линейным оператором следующего вида:

= - × ,                                         (2.14)

где =() - весовые коэффициенты;  – область весового суммирования (рис.1), перемещающаяся по сетке W в соответствии с развёрткой изображения.

    Для однородного СП {} можно подобрать постоянные коэффициенты  =, обеспечивающие при достаточно большом размере области D приемлемое качество декорреляции. При изменении вероятностных свойств СП {, ÎW} необходимо подстраивать значения =(, Î) в соответствии с характеристиками СП. Для этого воспользуемся следующей рекуррентной псевдоградиентной процедурой [8]:

,                                                 (2.15)

где - реализация градиента функционала качества алгоритма декорреляции, т.е. = +; - функционал качества; - ошибка наблюдения в точке ; (*) – векторная функция от реализации градиента функционала качества;  - скалярные коэффициенты; - следующее после  значение индекса. Для сходимости процедуры (4) необходимо выполнение условия псевдоградиентности:

.

Это условие означает, что вектор () в среднем должен составлять острый угол с направлением вектора .

    Функционал  может быть определён несколькими способами. Известно [6,8], что адаптивные алгоритмы делятся на два класса. Первый класс включает идентификационные, а второй класс – безыдентификационные алгоритмы. В алгоритмах первого класса осуществляется предварительное оценивание неизвестных параметров наблюдений, а затем эти оценки используются для определения параметров алгоритма обработки. Анализ показывает, что применение подобных алгоритмов в системах реального времени вызывает большие трудности. В алгоритмах второго класса параметры алгоритма обработки изменяются в соответствии с изменением свойств некоторого наблюдаемого функционала. В рассматриваемой задаче декорреляции таким функционалом может быть, например, квадратичная форма:

=,

где G – n-мерная область декорреляции. Реализация градиента этого функционала имеет вид:

= {}= +.                  (2.16)

Анализ показывает, что в качестве функции от целесообразно выбрать знаковую функцию {*}=sign{*}.

    Отметим, что задача декорреляции относится к классу некорректно поставленных задач, и для её решения необходимо использовать методы регуляризации [9]. Для этого входные наблюдения представляются в виде суммы = + , где  - дополнительный гауссовский шум с дисперсией