§ 5. Ускорение

Следующий шаг на пути к уравнениям движения — это введение величины, которая связана с изменением скорости движения. Естественно спросить: а как изменяется скорость движения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за   скорость . Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за . Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле  (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за . Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изменения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно подготовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записывается в виде производной от расстояния. Если теперь продифференцировать формулу , то получим ускорение падающего тела

.                                                                   (8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался результат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от  равна просто  (постоянной). Если же выбрать эту постоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от  равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела постоянно возрастает на  за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным только потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорционально силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:

.

Для скорости  мы получили формулу

.

Так как ускорение — это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференцировать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы но будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции , причем в результате коэффициент удваивался, а  превращалось в . Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от  будет равна . Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной будет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение никакого вклада. Окончательный результат: .

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением , то его скорость  в любой момент времени  будет равна

,

а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

.

Заметим еще, что поскольку скорость — это , а ускорение — производная скорости по времени, то можно написать

.                                                                      (8.10)

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая производная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что . Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения. Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движении в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы  в трехмерном пространстве. Эта глава началась с обсуждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положение частицы задается двумя числами (координатами)  и , каждое из которых является соответственно расстоянием до оси  и до оси  (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две координаты заданы как функции времени. (Обобщение на трехмерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты . Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координатных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направлению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая скорости, или -компонента, будет равна производной по времени от координаты , т. е.

,                                                                             (8.11.)

а вертикальная составляющая, или -компонента, равна

.                                                                             (8.12)

В случае трех измерений необходимо еще добавить

.                                                                                              (8.13)

Фигура 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его  скорости.

Как, зная компоненты скорости, определить полную скорость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных коротким интервалом времени  и расстоянием . Из фиг. 8.3 видно, что

                                                                  (8.14)

(Значок  соответствует выражению «приблизительно равно».) Средняя скорость в течение интервала  получается простым делением: . Чтобы найти точную скорость в момент , нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить  к нулю. В результате оказывается, что

.                       (8.15)

В трехмерном случае точно таким же способом можно получить

                                                                         (8.16)

Фигура 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, брошенное с горизонтальной начальной скоростью.

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: -компонента ускорения  определяется как производная от -компоненты скорости  (т. е.  — вторая производная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешанного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизонтальном направлении с постоянной скоростью  и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением . Что это за движение? Так как  и, следовательно, скорость  постоянна, то

,                                                                                 (8.17)

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно — , то координата  падающего шара дается формулой

                                                                        (8.18)

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами  и ? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку 1=*х/и% после чего находим

.                                                                    (8.19)

Эту связь между координатами  и  можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Вели изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4). Так что любое свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе.