§ 3. Сложение энергии

Перейдем теперь к более общему случаю и рассмотрим, что произойдет, если тел много. Предположим, что имеется несколько тел; пронумеруем их:  и пусть все они притягивают друг друга. Что тогда произойдет? Можно доказать, что если сложить кинетические энергии всех тел и добавить сюда сумму (по всем парам частиц) их взаимных потенциальных энергий тяготения , то все вместе даст постоянную:

.                                    (13.14)

Как же это доказать? Мы продифференцируем обе стороны по времени и докажем, что получится нуль. При дифференцировании  мы получим производные скорости — силы [как в (13.5)], а потом эти силы заменим их величиной, известной нам из закона тяготения, и увидим в конце концов, что останется как раз производная по времени от

.

Начинаем доказательство. Производная кинетической энергии по времени есть

.                          (13.15)

Производная по времени от потенциальной энергии есть

,

но

,

так что

,

потому что , хотя . Итак,

.                             (13.16)

Теперь внимательно посмотрим, что значит  и . В (13.15)  означает, что  принимает по порядку все значения , и для каждого индекс  принимает все значения, кроме . Если, например, , то  принимает значении .

С другой стороны, в (13.16)  означает, что каждая пара  и  встречается лишь однажды. Скажем, частицы  и  дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что  принимает значения , а  для каждого  — только значении, большие чем . Если, скажем, , то  равно . Но вспомним, что каждая пара  дает два слагаемых в сумме, одно с , а другое с , и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения  и  (кроме ) ]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергии действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинетическая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потенциальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энергии пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Можно это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело , на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела  потребует работы . И вот теперь самый существенный момент: мы доставляем тело  в точку . В любой момент сила, действующая на , слагается из двух частей: из силы, действующей со стороны , и силы со стороны . Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз  разбивается на сумму сил

,

то работа равна

.

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных против силы  и против силы , как если бы они действовали независимо. Продолжая рассуждать, таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.