§ 4. Поле тяготения больших тел

Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физических задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдельными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке  (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до плоскости есть , а масса единицы площади этой плоскости есть .

Фигура 13.5. Сила притяжения материальной точки материальной плоскостью.

Пусть  будет постоянной: слой однороден. Какой же величины поло  создается массой , удаленной от  не ближе, чем на , и не дальше, чем на  ( — это точка плоскости, ближайшая к )? Ответ: . Но оно, это поле, направлено вдоль , а мы понимаем, что из трех составляющих  после сложения всех  должна остаться лишь составляющая.

Она равна

.

Все массы , которые находятся на одном и том же расстоянии  от , дадут одно и то же значение , так что за  можно сразу принять массу всего кольца между  и , т. е.  ( — это площадь кольца радиусом  и шириной  при ). Итак,

.

Но  из-за того, что . Поэтому

.                                  (13.17)

Стало быть, сила не зависит от расстояния ! Почему? Не ошиблись ли мы? Казалось бы, чем дальше от плоскости, тем сила слабее. Но нет! Если точка находится вплотную к плоскости, то большая часть вещества притягивает ее под неудачными углами, а если вдалеке, то у большей части вещества притяжение направлено прямее к плоскости. На любом расстоянии самая «влиятельная» часть плоскости лежит в некотором конусе. С удалением сила ослабляется обратно пропорционально квадрату расстояния, но в том же конусе под тем же углом оказывается больше вещества, а рост количества вещества тоже пропорционален квадрату расстояния! Этот анализ может быть сделан более строгим, если заметить, что дифференциал вклада любого данного конуса не зависит от расстояния в результате противоположных изменений напряженности поля данной массы и количества самой этой массы (с ростом расстояния). Впрочем, на самом деле сила не постоянна, ибо на другой стороне плоскости она меняет знак.

Мы решили, кстати, и задачу по электричеству: мы доказали, что у заряженной пластины, каждая единица площади которой несет заряд , электрическое поле равно  и направлено от пластины, если она заряжена положительно, и к ней, если она заряжена отрицательно. Чтобы доказать это, надо просто вспомнить, что в законе тяготения  играет ту же роль, что  в электричестве.

А теперь пусть имеются две пластины, одна с положительным зарядом , а другая с отрицательным  (на единицу площади), и пусть промежуток между ними равен . Каково поле этих пластин? Снаружи пластин поле равно нулю. Отчего? Оттого, что одна из них отталкивает, а другая притягивает и у обеих сила не зависит от расстояния, значит, силы всюду уничтожаются! А вот поле между пластинами вдвое больше, чем поле одной пластины, направлено оно от положительной пластины к отрицательной и равно .

Перейдем теперь к еще более интересному и важному вопросу; впрочем, мы давно уже ответили на него, предположив, что сила притяжения Земли в точке на ее поверхности или над нею такая же, как если бы вся масса Земли сосредоточилась в ее центре. Справедливость этого предположения не очевидна: ведь когда мы находимся у самой земли, какая-то часть ее массы очень к нам близка, а другая далека и т. д. Когда мы складываем действие всех таких масс, то кажется чудом, что в конце концов сила сводится к тому, что вся Земля сжалась в одну точку, стянулась к своему центру!

Мы теперь покажем, что это чудо обыкновенное; чтобы продемонстрировать это, разобьем Землю на тонкие сферические слои. Пусть вся масса сферы равна . Давайте рассчитаем потенциальную энергию частицы массы  на расстоянии  от центра сферы (фиг. 13.6). Мы увидим, что потенциальная энергия как раз такая, как если бы масса  сферы вся собралась в ее центре. (Легче иметь дело с потенциальной энергией чем с напряженностью поля: не нужно думать об углах, а просто складывать потенциальные энергии всех частей сферы.) Нарежем сферу на узкие пояски, и пусть  — расстояние плоскости пояска от центра сферы; тогда вся масса пояска толщиной  находится на одном и том же расстоянии  от точки , а потенциальная энергия притяжения этого пояска равна . Сколько же массы содержится в пояске ? Вот сколько:

,

где  — поверхностная плотность массы. (Вообще площадь поверхности шарового пояса пропорциональна его высоте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы  есть

.

Но мы видим, что

.

Значит, или

,

или

.

Поэтому

и получается

.                               (13.18)

Фигура 13.6. Тонкий сферический слой масс (или зарядов).

Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы  внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре!

Но посмотрим, что произойдет, если точка  окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений , но уже в другой форме: ? (двойное расстояние от  до центра). Другими словами, теперь  становится равной , что не зависит от , т. е. точка  всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не действует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи.