Глава 20. ВРАЩЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 1. Моменты сил в трехмерном пространстве

В этой главе мы рассмотрим одно из наиболее замечательных и забавных следствий законов механики - поведение крутящегося колеса. Для этого нам прежде всего нужно расширить математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т. д. на трехмерное пространство. Однако мы не будем использовать эти уравнения во всей их общности и изучать все следствия, ибо это займет многие годы, а нас ждут другие разделы, к которым мы вскоре должны перейти. В вводном курсе можно остановиться только на основных законах и их приложениях к весьма ограниченному числу особенно интересных случаев.

Прежде всего хочу отметить, что для вращения в трех измерениях твердого тела или какого-то иного объекта остается верным все, что мы получили для двух измерений. Иначе говоря,  так и остается моментом силы «в плоскости », или моментом силы «относительно оси ». Остается справедливым также, что этот момент силы равен скорости изменения величины ; если вы вспомните вывод уравнения (18.15) из законов Ньютона, то увидите, что фактически мы не использовали того обстоятельства, что движение плоское, и просто дифференцировали величину  и получали , так что эта теорема остается верной. Величину  мы называли моментом количества движения в плоскости , или моментом количества движения относительно оси . Кроме плоскости , можно использовать другие пары осей и получить другие уравнения. Возьмем, например, плоскость .Уже из симметрии ясно, что если мы просто подставим  вместо , a  вместо , то для момента силы получим выражение  и  будет угловым моментом в этой плоскости. Разумеется, можно еще взять и плоскость  и получить для нее

.

Совершенно ясно, что для движения одной частицы мы получаем и три уравнения для трех плоскостей. Более того, если мы складывали такие величины, как , для многих частиц и называли это полным угловым моментом, то теперь у нас есть три сорта подобных выражений для трех плоскостей:  и , а сделав то же самое с моментами сил, мы можем также говорить и о полных моментах сил в этих плоскостях. Таким образом, появляются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в той же плоскости. Это просто обобщение того, что писалось для двух измерений.

Однако теперь можно сказать: «Но ведь есть еще и другие плоскости. Разве нельзя в конце концов взять плоскость под каким-то углом и вычислять действующие в ней моменты сил. Для каждого такого случая нужно писать другие системы уравнений, так что в результате их наберется масса!» Здесь следует отметить очень интересное обстоятельство. Оказывается, что если мы в комбинации  для «косой» плоскости выразим величины  и т. д. через их компоненты, то результат можно записать в виде некоторой комбинации трех моментов в плоскостях  и . В этом нет ничего нового. Другими словами, если нам известны три момента сил в плоскостях и , то момент сил в любой другой плоскости, как и угловой момент, может быть записан в виде их комбинации: скажем, 6% одного, 92% другого и т. д. Этим свойством мы сейчас и займемся.

Пусть Джо для своих координатных осей  определял все моменты сил и все угловые моменты во всех плоскостях. Однако Мик направил свои оси  по-другому. Чтобы немного облегчить задачу, предположим, что повернуты только оси  и . Мик выбрал другие оси  и , а его ось  осталась той же самой. Это означает, что плоскости  и  у него новые, а поэтому моменты сил и угловые моменты у него тоже окажутся новыми. Например, его момент сил в плоскости  окажется равным  и т. д. Следующая задача - найти связь между новыми и старыми моментами сил. Ее вполне можно решить, установив связь одного набора осей с другим. «Да это же напоминает то, что мы делали с векторами»,- скажете вы. Действительно, я собираюсь делать в точности то же самое. «А не вектор ли он, этот момент сил?» - спросите вы. Действительно, он - вектор, однако этого нельзя сказать просто так, без всякого математического анализа. Так что следующим этапом должен быть анализ. Однако мы не будем подробно обсуждать каждый шаг, а только покажем, как это все работает. Моменты сил, вычисленные Джо, равны

                    (20.1)

В этом месте мы сделаем отступление и заметим, что в подобных случаях, если оси координат выбраны неправильно, для некоторых величин получается неверный знак. Почему бы не написать ? Этот вопрос связан с тем обстоятельством, что система координат может быть либо «левая», либо «правая». Однако выбрав (произвольно) знак, скажем, у , можно всегда определить правильное выражение для остальных двух величин путем замены по какой-либо из двух схем:

или

Теперь Мик подсчитывает моменты сил в своей системе

                (20.2)

Пусть одна система координат повернута на угол  по отношению к другой, так что ось  осталась той же самой. (Угол  ничего не имеет общего с вращением объекта или с чем-то происходящим внутри системы координат. Это просто связь между осями, используемыми одним человеком, и осями, используемыми другим. Мы предполагаем, что он остается постоянным.) При этом координаты в двух системах связаны так:

             (20.3)

Точно таким же образом, поскольку сила является вектором, она преобразуется в новой системе координат так же, как  и . Просто, по определению, объект называется вектором тогда и только тогда, когда различные его компоненты преобразуются как  и

                    (20.4)

Теперь можно определить, как преобразуется момент силы. Для этого в уравнение (20.2) нужно просто подставить вместо  и  выражение (20.3), а для  и  - выражение (20.4). В результате для  получается длинный ряд членов, но оказывается (и на первый взгляд это удивительно), что все сводится просто к выражению , которое, как известно, является моментом силы в плоскости :

    (20.5)

Результат совершенно ясен: ведь мы только повернули оси, лежащие в плоскости , при этом момент относительно оси  в этой плоскости не отличается от прежнего: ведь плоскость-то осталась той же самой! Более интересно выражение для . Здесь уже мы имеем дело с новой плоскостью. Если теперь повторить то же самое с плоскостью , то получим

                      (20.6)

И наконец, для плоскости

                       (20.7)

Мы хотели найти правило для определения момента сил в новой системе через момент сил в старой и нашли его. Как можно запомнить это правило? Если внимательно посмотреть на уравнения (20.5)-(20.7), то нетрудно увидеть, что между ними и уравнениями для  и  существует тесная связь. Если каким-то образом мы бы могли назвать  -компонентой чего-то, скажем -компонентой вектора , то все было бы в порядке: уравнение (20.5) мы бы понимали как преобразование вектора , ибо -компонента его, как это и должно быть, оставалась бы неизменной. Аналогично, если связать плоскость  с -компонентой новоиспеченного вектора, а плоскость  с -компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так:

                     (20.8)

что в точности соответствует закону преобразования векторов.

Мы, следовательно, доказали, что комбинацию  можно отождествить с тем, что обычно называется -компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении как самый настоящий вектор.

Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости , то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси . Это означает, что предварительно кто-то должен сказать нам, где «право», а где «лево». Предположим, что система координат  правосторонняя; тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кручением, определяется поступательным движением болта.

Почему же момент можно отождествить с вектором? А это счастливая случайность: с каждой плоскостью можно связать только одну ось и, следовательно, с моментом можно связать только один вектор. Это свойство - особенность трехмерного пространства. В двумерном пространстве, например, момент - самый обычный скаляр, не нуждающийся в направлении. В трехмерном пространстве он - вектор. Если бы у нас было четыре измерения, то возникло бы большое затруднение, ибо (если, например, в качестве четвертого измерения взять время) дополнительно к трем плоскостям и  появятся также плоскости  и . Всего, следовательно, получается шесть плоскостей, а представить шесть величин в виде одного четырехмерного вектора невозможно.

Однако нам еще долго предстоит оставаться в трехмерном пространстве, поэтому стоит отметить, что в предыдущих математических рассмотрениях совершенно не существенно то, что  - координата, a  - сила, а существен только закон преобразования векторов. Поэтому не будет никакой разницы, если мы вместо координаты  подставим -компоненту любого другого вектора. Иначе говоря, если мы хотим вычислить величину , где  и  - векторы, и назвать ее -компонентой некоторой новой величины , то эта величина будет вектором . Было бы хорошо для такой связи трех компонент нового вектора  с векторами  и  придумать какое-то математическое обозначение. Для такой связи пользуются обозначением: . Таким образом, в дополнение к обычному скалярному произведению в векторном анализе мы получили произведение нового сорта, так называемое векторное произведение. Итак, запись  это то же самое, что

                   (20.9)

Если переменить порядок векторов  и , т. е. вместо  взять , то знак вектора  при этом изменится, ибо  равно . Векторное произведение поэтому не похоже на обычное умножение, для которого . Для векторного произведения . Отсюда немедленно следует, что если , то векторное произведение равно нулю, т. е. .

Векторное произведение очень хорошо передает свойство вращения, поэтому важно понимать геометрическую связь векторов  и . Связь между компонентами определяется уравнениями (20.9), исходя из которых можно получить следующие геометрические соотношения. Во-первых, вектор  перпендикулярен как к вектору , так и к вектору . (Попробуйте вычислить  и вы увидите, что в результате получится нуль.) Во-вторых, величина вектора  оказывается равной произведению абсолютных величин векторов  и , умноженному на синус угла между ними. А куда направлен вектор ? Вообразите, что мы доворачиваем вектор  до вектора  в направлении угла, меньшего 180°; если крутить в ту же сторону болт с правовинтовой резьбой, то он должен двигаться в направлении вектора . То, что мы берем правовинтовой болт, а не левовинтовой,- простая договоренность, которая постоянно напоминает нам, что в отличие от настоящих, «честных» векторов  и  вектор нового типа  по своему характеру слегка отличается от них, ибо строится он искусственно, по особому рецепту. У обычных векторов  и , кроме того, есть специальное название: мы называем их полярными векторами. Примерами таких векторов служат координата , сила , импульс , скорость , электрическое поле  и т. д. Все это обычные полярные векторы. Векторы же, содержащие одно векторное произведение обычных векторов, называются аксиальными векторами, или псевдовекторами. Примерами псевдовекторов, несомненно, могут служить момент силы  и момент импульса . Кроме того, оказывается, что угловая скорость , как и магнитное поле , тоже псевдовектор.

Чтобы расширить наши сведения о математических свойствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпишем все правила с участием векторного произведения. Впоследствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:

                      (20.10)