§ 2. Уравнения вращения в векторном виде

Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конечно, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сразу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу

.                    (20.11)

Это просто краткая запись трех уравнений:  и т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества движения одной частицы в виде векторного произведения вектора расстояния от начала координат (радиус-вектора) на вектор импульса

.                   (20.12)

Векторная форма динамического закона вращения в трехмерном пространстве напоминает уравнение Ньютона ; именно вектор момента силы равен скорости изменения со временем вектора момента количества движения

.                      (20.13)

Если мы сложим (20.13) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения

.                        (20.14)

Еще одна теорема: если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента количества движения системы остается постоянным. Эта теорема называется законом сохранения момента количества движения. Если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества движения не изменяется.

А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Мы уже рассматривали вращение твердого тела вокруг некоторой фиксированной оси, а теперь давайте на минуту предположим, что оно одновременно вращается вокруг двух осей. Тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси. Результатом же такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Самое удивительное здесь то, что эта новая ось может быть найдена следующим образом. Если вращение в плоскости  представить как вектор, направленный вдоль оси , длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направленного вдоль оси , изобразить скорость вращения в плоскости, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим результат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту говоря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоугольные проекции на эти плоскости.

В качестве простого примера с использованием вектора угловой скорости подсчитаем мощность, затрачиваемую моментом сил, действующим на твердое тело. Так как мощность - это скорость изменения работы со временем, то в трехмерном пространстве она оказывается равной .

Все формулы, которые мы писали для плоского вращения, могут быть обобщены на три измерения. Если взять, например, твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси с угловой скоростью , то можно спросить: «Чему равна скорость точки с радиус-вектором ?» В качестве упражнения попытайтесь доказать, что скорость частицы твердого тела задается выражением , где  - угловая скорость, а  - положение частицы. Другим примером векторного произведения служит формула для кориолисовой силы, которую можно записать как . Иначе говоря, если в системе координат, вращающейся со скоростью , частица движется со скоростью  и мы все хотим описать через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу .