Читать в оригинале

<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>


§ 2. Гармонический осциллятор

Пожалуй, простейшей механической системой, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является масса на пружинке. После того как к пружинке подвесят грузик, она немного растянется, чтобы уравновесить силу тяжести. Проследим теперь за вертикальными отклонениями массы от положения равновесия (фиг. 21.1). Отклонения вверх от положения равновесия мы обозначим через  и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае противодействующие растяжению силы прямо пропорциональны растяжению. Это означает, что сила равна  (знак минус напоминает нам, что сила противодействует смещениям). Таким образом, умноженное на массу ускорение должно быть равно

.             (21.2)

Для простоты предположим, что вышло так (или мы нужным образом изменили систему единиц), что . Нам предстоит решить уравнение

.                  (21.3)

 

99.gif

Фиг. 21.1. Грузик, подвешенный на пружинке. Простой пример гармонического осциллятора.

После этого мы вернемся к уравнению (21.2), в котором  и  содержатся явно.

Мы уже сталкивались с уравнением (21.3), когда только начинали изучать механику. Мы решили его численно, чтобы найти движение. Численным интегрированием мы нашли кривую, которая показывает, что если частица  в начальный момент выведена из равновесия, но покоится, то она возвращается к положению равновесия. Мы не следили за частицей после того, как она достигла положения равновесия, но ясно, что она на этом не остановится, а будет колебаться (осциллировать). При численном интегрировании мы нашли время возврата в точку равновесия: . Продолжительность полного цикла в четыре раза больше:  «сек». Все это мы нашли численным интегрированием, потому что лучше решать не умели. Но математики дали в наше распоряжение некую функцию, которая, если ее продифференцировать дважды, переходит в себя, умножившись на . (Можно, конечно, заняться прямым вычислением таких функций, но это много труднее, чем просто узнать ответ.)

Эта функция есть: . Продифференцируем ее: , a . В начальный момент , , а начальная скорость равна нулю; это как раз те предположения, которые мы делали при численном интегрировании. Теперь, зная, что , найдем точное значение времени, при котором . Ответ: , или 1,57108. Мы ошиблись раньше в последнем знаке, потому что численное интегрирование было приближенным, но ошибка очень мала!

Чтобы продвинуться дальше, вернемся к системе единиц, где время измеряется в настоящих секундах. Что будет решением в этом случае? Может быть, мы учтем постоянные  и , умножив на соответствующий множитель ? Попробуем. Пусть , тогда  и . К нашему огорчению, мы не преуспели в решении уравнения (21.2), а снова вернулись к (21.3). Зато мы открыли важнейшее свойство линейных дифференциальных уравнений: если умножить решение уравнения на постоянную, то мы снова получим решение. Математически ясно - почему. Если  есть решение уравнения, то после умножения обеих частей уравнения на  производные тоже умножатся на  и поэтому  так же хорошо удовлетворит уравнению, как и . Послушаем, что скажет по этому поводу физик. Если грузик растянет пружинку вдвое больше прежнего, то вдвое возрастет сила, вдвое возрастет ускорение, в два раза больше прежней будет приобретенная скорость и за то же самое время грузик пройдет вдвое большее расстояние. Но это вдвое большее расстояние - как раз то самое расстояние, которое надо пройти грузику до положения равновесия. Таким образом, чтобы достичь равновесия, требуется столько же времени и оно не зависит от начального смещения. Иначе говоря, если движение описывается линейным уравнением, то независимо от «силы» оно будет развиваться во времени одинаковым образом.

Ошибка пошла нам на пользу - мы узнали, что, умножив решение на постоянную, мы получим решение прежнего уравнения. После нескольких проб и ошибок можно прийти к мысли, что вместо манипуляций с  надо изменить шкалу времени. Иначе говоря, уравнение (21.2) должно иметь решение вида

.                (21.4)

(Здесь  - вовсе не угловая скорость вращающегося тела, но нам не хватит всех алфавитов, если каждую величину обозначать особой буквой.) Мы снабдили здесь  индексом 0, потому что нам предстоит встретить еще много всяких омег: запомним, что  соответствует естественному движению осциллятора. Попытка использовать (21.4) в качестве решения более успешна, потому что  и . Наконец-то мы решили то уравнение, которое и хотели решить. Это уравнение совпадает с (21.2), если .

Теперь нужно понять физический смысл . Мы знаем, что косинус «повторяется» после того, как угол изменится на . Поэтому  будет периодическим движением; полный цикл этого движения соответствует изменению «угла» на . Величину  часто называют фазой движения. Чтобы изменить  на , нужно изменить  на  (период полного колебания); конечно,  находится из уравнения . Это значит, что  нужно вычислять для одного цикла, и все будет повторяться, если увеличить  на ; в этом случае мы увеличим фазу на . Таким образом,

.                 (21.5)

Значит, чем тяжелее грузик, тем медленнее пружинка будет колебаться взад и вперед. Инерция в этом случае будет больше, и если сила не изменится, то ей понадобится большее время для разгона и торможения груза. Если же взять пружинку пожестче, то движение должно происходить быстрее; и в самом деле, период уменьшается с увеличением жесткости пружины.

Заметим теперь, что период колебаний массы на пружинке не зависит от того, как колебания начинаются. Для пружинки как будто безразлично, насколько мы ее растянем. Уравнение движения (21.2) определяет период колебаний, но ничего не говорит об амплитуде колебания. Амплитуду колебания, конечно, определить можно, и мы сейчас займемся этим, но для этого надо задать начальные условия.

Дело в том, что мы еще не нашли самого общего решения уравнения (21.2). Имеется несколько видов решений. Решение  соответствует случаю, когда в начальный момент пружинка растянута, а скорость ее равна нулю. Можно иначе заставить пружинку двигаться, например, улучить момент, когда уравновешенная пружинка покоится , и резко ударить по грузику; это будет означать, что в момент  пружинке сообщена какая-то скорость. Такому движению будет соответствовать другое решение (21.2) - косинус нужно заменить на синус. Бросим в косинус еще один камень: если  - решение, то, войдя в комнату, где качается пружинка, в тот момент (назовем его «»), когда грузик проходит через положение равновесия , мы будем вынуждены заменить это решение другим. Следовательно,  не может быть общим решением; общее решение должно допускать, так сказать, перемещение начала отсчета времени. Таким свойством обладает, например, решение , где  - какая-то постоянная. Далее, можно разложить

и записать

,

где  и . Каждую из этих форм можно использовать для записи общего решения (21.2): любое из существующих в мире решений дифференциального уравнения  можно записать в виде

,               (21.6а)

или

,                (21.6б)

или

.                   (21.6в)

Некоторые из встречающихся в (21.6) величин имеют названия:  называют угловой частотой; это число радианов, на которое фаза изменяется за 1 сек. Она определяется дифференциальным уравнением. Другие величины уравнением не определяются, а зависят от начальных условий. Постоянная  служит мерой максимального отклонения груза и называется амплитудой колебания. Постоянную  иногда называют фазой колебания, но здесь возможны недоразумения, потому что другие называют фазой  и говорят, что фаза зависит от времени. Можно сказать, что  - это сдвиг фазы по сравнению с некоторой, принимаемой за нуль. Не будем спорить о словах. Разным  соответствуют движения с разными фазами. Вот это верно, а называть ли  фазой или нет - уже другой вопрос.

 



<< ПредыдущаяОглавлениеСледующая >>