§ 3. Гармоническое движение и движение по окружности

Косинус в решении уравнения (21.2) наводит на мысль, что гармоническое движение имеет какое-то отношение к движению по окружности. Это сравнение, конечно, искусственное, потому что в линейном движении неоткуда взяться окружности: грузик движется строго вверх и вниз. Можно оправдаться тем, что мы уже решили уравнение гармонического движения, когда изучали механику движения по окружности. Если частица движется по окружности с постоянной скоростью , то радиус-вектор из центра окружности к частице поворачивается на угол, величина которого пропорциональна времени. Обозначим этот угол  (фиг. 21.2). Тогда . Известно, что ускорение  и направлено к центру. Координаты движущейся точки в заданный момент равны

.

Что можно сказать об ускорении? Чему равна -составляющая ускорения, ? Найти эту величину можно чисто геометрически: она равна величине ускорения, умноженной на косинус угла проекции; перед полученным выражением надо поставить знак минус, потому что ускорение направлено к центру:

.             (21.7)

Иными словами, когда частица движется по окружности, горизонтальная составляющая движения имеет ускорение, пропорциональное горизонтальному смещению от центра. Конечно, мы знаем решения для случая движения по окружности: . Уравнение (21.7) не содержит радиуса окружности; оно одинаково при движении по любой окружности при одинаковой .

Фиг. 21.2. Частица, движущаяся по кругу с постоянной скоростью.

Таким образом, имеется несколько причин, по которым следует ожидать, что отклонение грузика на пружинке окажется пропорциональным  и движение будет выглядеть так, как если бы мы следили за -координатой частицы, движущейся по окружности с угловой скоростью . Проверить это можно, поставив опыт, чтобы показать, что движение грузика вверх-вниз на пружинке в точности соответствует движению точки по окружности. На фиг. 21.3 свет дуговой лампы проектирует на экран тени движущихся рядом воткнутой во вращающийся диск иголки и вертикально колеблющегося груза. Если вовремя и с нужного места заставить грузик колебаться, а потом осторожно подобрать скорость движения диска так, чтобы частоты их движений совпали, тени на экране будут точно следовать одна за другой. Вот еще способ убедиться в том, что, находя численное решение, мы почти вплотную подошли к косинусу.

Фиг. 21.3. Демонстрация эквивалентности простого гармонического движения и равномерного движения по окружности.

Здесь можно подчеркнуть, что поскольку математика равномерного движения по окружности очень сходна с математикой колебательного движения вверх-вниз, то анализ колебательных движений очень упростится, если представить это движение как проекцию движения по окружности. Иначе говоря, мы можем дополнить уравнение (21.2), казалось бы, совершенно лишним уравнением для  и рассматривать оба уравнения совместно. Проделав это, мы сведем одномерные колебания к движению по окружности, что избавит нас от решения дифференциального уравнения. Можно сделать еще одни трюк - ввести комплексные числа, но об этом в следующей главе.