§ 4. Начальные условия

Давайте выясним, какой смысл имеют  и  или  и . Конечно, они показывают, как началось движение. Если движение начнется с малого отклонения, мы получим один тип колебаний; если слегка растянуть пружинку, а потом ударить по грузику - другой. Постоянные  и  или  и , или какие-нибудь две другие постоянные определяются обстоятельствами, при которых началось движение, или, как обычно говорят, начальными условиями. Нужно научиться определять постоянные, исходя из начальных условий. Хотя для этого можно использовать любое из соотношений (21.6), лучше всего иметь дело с (21.6в). Пусть в начальный момент  грузик смещен от положения равновесия на величину  и имеет скорость . Это самая общая ситуация, какую только можно придумать. (Нельзя задать начального ускорения, потому что оно зависит от свойств пружины; мы можем распорядиться только величиной .) Вычислим теперь  и . Начнем с уравнения для

;

поскольку нам понадобится и скорость, продифференцируем  и получим

.

Эти выражения справедливы для всех , но у нас есть дополнительные сведения о величинах  и  при . Таким образом, если положить , мы должны получить слева  и , ибо это то, во что превращаются  и  при . Кроме того, мы знаем, что косинус нуля равен единице, а синус нуля равен нулю. Следовательно,

и

.

Таким образом, в этом частном случае

.

Зная  и , мы можем, если пожелаем, найти  и .

Итак, задача о движении осциллятора решена, но есть одна интересная вещь, которую надо проверить. Надо выяснить, сохраняется ли энергия. Если нет сил трения, то энергия должна сохраняться. Сейчас нам удобно использовать формулы

и

.

Давайте найдем кинетическую энергию  и потенциальную энергию . Потенциальная энергия в произвольный момент времени равна , где  - смещение, а  - постоянная упругости пружинки. Подставляя вместо  написанное выше выражение, найдем

.

Разумеется, потенциальная энергия зависит от времени; она всегда положительна, это тоже понятно: ведь потенциальная энергия - это энергия пружины, а она изменяется вместе с . Кинетическая энергия равна ; используя выражение для , получаем

.

Кинетическая энергия равна нулю при максимальном , ибо в этом случае грузик останавливается; когда же грузик проходит положение равновесия , то кинетическая энергия достигает максимума, потому что именно тогда грузик движется быстрее всего. Изменение кинетической энергии, таким образом, противоположно изменению потенциальной энергии. Полная энергия должна быть постоянной. Действительно, если вспомнить, что , то

.

Энергия зависит от квадрата амплитуды: если увеличить амплитуду колебания вдвое, то энергия возрастет вчетверо. Средняя потенциальная энергия равна половине максимальной и, следовательно, половине полной; средняя кинетическая энергия также равна половине полной энергии.