§ 3. Принцип наименьшего времени Ферма

По мере развития науки нам хочется получить нечто большее, чем просто формулу. Сначала мы наблюдаем явления, затем с помощью измерений получаем числа и, наконец, находим закон, связывающий эти числа. Но истинное величие науки состоит в том, что мы можем найти такой способ рассуждения,  при котором закон становится очевидным.

Впервые общий принцип, наглядно объясняющий закон поведения света, был предложен Ферма примерно в 1950 г. и получил название принципа наименьшего времени, или принципа Ферма. Вот его идея: свет выбирает ив всех возможных путей, соединяющих две точки, тот путь, который требует наименьшего времени для его прохождения.

Покажем сначала, что это верно для случая с зеркалом, что этот простой принцип объясняет и прямолинейность распространения света, и закон отражения света от зеркала. Мы явно делаем успехи!

Попытаемся решить следующую задачу. На фиг. 26.3 изображены две точки  и  и плоское зеркало . Каким путем можно за кратчайшее время попасть из точки  в точку ? Ответ: по  прямой, проведенной из  в !

Фигура 26.3. Иллюстрация принципа наименьшего времени.

Но если мы добавим дополнительное условие, что свет должен попасть на зеркало, отразиться от негой вернуться снова в точку В опять-таки за кратчайшее время, то ответить не так уж просто. Один путь — как можно скорее добраться до зеркала, а оттуда в точку , т. е. по пути . Путь , конечно, длинен. Если сдвинуться чуть-чуть вправо в точку , то первый отрезок пути немного увеличится, но зато сильно уменьшится второй, и время прохождения поэтому станет меньше. Как найти точку , для которой время прохождения наименьшее? Воспользуемся для  этого хитрым геометрическим приемом.

По другую сторону зеркала , на таком же расстоянии от него, что и точка , построим искусственную точку . Затем проведем линию . Поскольку угол  прямой и , то  равно . Следовательно, сумма длин двух отрезков , пропорциональная времени их прохождения (если свет проходит с постоянной скоростью), равна сумме длин . Теперь нужно выяснить, когда сумма длин будет наименьшей. Ответ: когда точка  будет лежать на прямой, соединяющей  и ! Другими словами, нужно идти к мнимой точке  (мнимому изображению точки ) и тогда мы найдем точку . Далее, если  — прямая линия, угол  равен углу  и, следовательно, углу . Таким образом, утверждение о равенстве углов падения и отражения равносильно утверждению, что свет при отражении от зеркала в точку  выбирает путь, требующий наименьшего времени. Еще Герон Александрийский высказал утверждение, что свет при отражении идет из одной точки в другую по кратчайшему пути, так что идея принципа, как видите, не нова. Именно это вдохновило Ферма, и он попробовал применить этот принцип к явлению преломления. Но свет, преломляясь, очевидным образом идет не по кратчайшему пути, и тогда Ферма предложил другой принцип — свет выбирает путь, время прохождения по которому наименьшее.

Прежде чем перейти к вопросу о преломлении света, сделаем еще одно замечание об отражении от зеркала. Если поместить источник света в точку  и направить луч на зеркало, свет, отражаясь от зеркала, пройдет из  в  так, как будто бы источник находится в , а зеркала нет вообще. Haш глаз видит только тот свет, который действительно входит в него; и хотя источник расположен в точке , зеркало направляет свет в глаз точно так, как будто источник находится в , и система глаза — мозг интерпретирует именно так это явление. Поэтому иллюзия, что источник или предмет находится за зеркалом, вызывается только тем фактом, что свет попадает в глаз физически именно так, как если бы предмет действительно был позади зеркала (если не принимать во внимание пыль на зеркале и то, что нам известно, что зеркало реально существует, и другие сведения, которые учитывает наш мозг).

Покажем теперь, что из принципа наименьшего времени вытекает закон Снелла для преломления. Мы должны, конечно, что-то предположить относительно скорости света в воде. Будем считать, что скорость света в воде меньше скорости света в воздухе, и отношение второй скорости к первой обозначим через .

Наша задача по-прежнему состоит в том, чтобы на фиг. 26.4 попасть из точки  в  за наименьшее время. Чтобы убедиться, что путь по прямой здесь не самый быстрый, представим себе следующую ситуацию: хорошенькая девушка падает из лодки в воду в точке  и кричит, просит спасти. Линия  — это берег. Вы находитесь на суше в точке  и видите, что произошло, вы умеете плавать и умеете бегать. Но бегаете вы быстрее, чем плаваете. Что вам делать? Бежать по прямой к берегу? (Конечно!) Но, немного поразмыслив, вы поймете, что выгоднее пробежать несколько дольше по берегу, чтобы уменьшить ваш путь в воде, потому что в воде вы будете двигаться гораздо медленнее. (Рассуждая таким образом, лучше всего было бы заранее тщательно вычислить путь!) Во всяком случае, давайте попытаемся показать, что окончательное решение задачи — это путь , который занимает из всех возможных наименьшее время. Если этот путь кратчайший по времени, то любой другой окажется длиннее. Поэтому если отложить на графике зависимость времени от положения точки , получится кривая, похожая на изображенную на фиг. 26.5, где точка  соответствует наименьшему времени. Это означает, что для точек  вблизи  в первом приближении время прохождения практически одинаковое, гак как в точке  наклон кривой равен нулю. Итак, наш способ найти искомый путь сводится к требованию, чтобы при небольшом изменении положения точки время прохождения не менялось. (Конечно, возникнут бесконечно малые изменения времени второго порядка, и они должны быть положительными при смещении в обе стороны от точки .) Возьмем близкую точку , вычислим время прохождения на пути  и сравним его со старым путем . Сделать это очень просто. Конечно, нужно еще, чтобы разность времен стремилась к нулю для малых расстояний . Обратимся сначала к пути по суше. Если мы опустим перпендикуляр , то легко увидим, что наш путь стал короче на длину . Можно сказать, что это расстояние мы выиграли. С другой стороны, опустив перпендикуляр , мы увидим, что в воде приходится проплыть дополнительное расстояние . В этом мы проиграли. С точки зрения экономии времени выигрывается время на отрезке , но теряется на отрезке . Эти два интервала времени должны быть равны, так как в первом приближении полное время прохождения не меняется. Предположив, что скорость в воде равна скорости в воздухе, умноженной на , получим

.                                                                  (26.3)

Фигура 26.4.  Иллюстрация принципа Ферма для случая преломления

Фигура 26.5. Наименьшее время получается при выборе точки . Соседние точки приводят примерно к такому же времени прохождения

Поэтому мы видим, что если нам удалось правильно выбрать точку  или мы сократили на длину общей гипотенузы  и заметили, что

 и ,

 то мы получим

.                                               (26.4)

Отсюда видно, что при отношении скоростей, равном , свет должен двигаться из одной точки в другую по такому пути, чтобы отношение синусов  и  было равно отношению скоростей в двух средах.