Глава 34. Релятивистские явления в излучении

§ 1. Движущиеся источники

В этой главе мы расскажем еще о ряде эффектов, связанных с излучением, и на этом закончим изложение классической теории света. Проведенный нами в предыдущих главах анализ световых явлений был достаточно полным и подробным. Однако мы не коснулись одного важного в приложениях процесса электромагнитного излучения — мы не исследовали поведения радиоволн в ящике с отражающими стенками размером порядка длины волны или радиоволн, пропускаемых через длинную трубу. Явления, возникающие в так называемых полых резонаторах и волноводах, мы обсудим позднее, причем прежде мы их проиллюстрируем на другом физическом примере — на примере звука. А в остальном изучение классической теории света заканчивается этой главой.

Для всех эффектов, о которых здесь пойдет речь, характерно то, что они связаны с движением источника. Мы не будем больше предполагать, что смещение источника незначительно и его движение происходит с относительно малой скоростью возле фиксированной точки.

Вспомним, что, согласно основным законам электродинамики, электрическое поле на больших расстояниях от движущегося заряда дается формулой

                            (34.1)

Определяющей величиной здесь является вторая производная единичного вектора , направленного к кажущемуся положению заряда. Единичный вектор характеризует положение заряда, конечно, не в тот же момент времени, а то место, где находился бы заряд, если учесть конечную скорость передачи информации от заряда к наблюдателю.

Вместе с электрическим полем возникает магнитное поле, направленное всегда перпендикулярно электрическому и кажущемуся положению заряда. Оно дается формулой

                            (34.2)

Мы рассматривали до сих пор случай нерелятивистских скоростей, когда движением в направлении источника можно было пренебречь. Обратимся теперь к общему случаю произвольных скоростей и посмотрим, какие эффекты возникают в этих условиях. Итак, пусть движение происходит с любой скоростью, но расстояние от детектора до источника по-прежнему велико.

В гл. 28 мы уже говорили, что в производную  входит только изменение направления . Пусть заряд находится в точке с координатами  и ось  лежит вдоль линии наблюдения (фиг. 34.1). В данный момент времени  координаты заряда есть  и . Расстояние  с большой точностью равно . Направление вектора  зависит главным образом от  и  и почти совсем не зависит от . Поперечные компоненты единичного вектора равны  и ; дифференцируя их, мы получаем члены, содержащие  в знаменателе:

Фигура 34.1. Траектория движущегося заряда.

Истинное положение в момент времени есть , положение при учете запаздывания есть .

Таким образом, на достаточно больших расстояниях существенны только члены с производными  я . Отсюда

                                   (34.3)

где  примерно равно расстоянию до заряда ; определим его как расстояние  до начала координат . Итак, электрическое поле равно константе, умноженной на очень простую величину — производную координат  и  по . (Математически можно назвать их поперечными компонентами вектора положения заряда , но ясности от этого не прибавится.)

Конечно, нужно всегда помнить, что координаты берутся не в момент наблюдения, а с учетом запаздывания. В данном случае запаздывание зависит и от . Чему равно время запаздывания? Обозначим время наблюдения через  (это время в точке наблюдения ), тогда время , которое в точке  соответствует времени , не будет совпадать с , а отстает от него на промежуток времени, необходимый свету, чтобы пройти все расстояние от заряда до точки наблюдения. В первом приближении время запаздывания равно , т. е. постоянной (что неинтересно), а в следующем приближении должно зависеть от -ko-ординаты положения заряда в момент , потому что для заряда , сдвинутого немного назад, запаздывание увеличивается. Этим эффектом мы раньше пренебрегали, если теперь учесть его, то мы получим формулу, пригодную для любых скоростей. Нам остается выбрать определенное значение , вычислить с его помощью  и найти  и  в момент времени . Запаздывающие значения  и  обозначим через  и , вторые производные от них определяют поле. Итак,  определяется из уравнений

и

                           (34.4)

Эти уравнения довольно сложны, но их решение легко получить геометрическим путем. Чертеж даст вам возможность качественно почувствовать, как возникают соотношения, хотя для вывода точных результатов понадобится преодолеть еще немало математических сложностей.