§ 2. Определение «кажущегося» движения

Написанное выше уравнение можно упростить довольно интересным способом. Опустим неинтересный для нас постоянный член  (это означает только, что мы изменяем начало отсчета времени  на постоянный отрезок) и запишем

                                  (34.5)

Нам нужно найти  и  как функции , а не , и это достигается следующим образом: как подсказывает уравнение (34.5), нужно взять истинное движение заряда и добавить время , умноженное на константу (скорость света). На фиг. 34.2 показано, что это означает. Возьмем истинную траекторию заряда (показанную слева) и представим себе, что по мере движения заряд удаляется от точки  со скоростью  (здесь нет каких-либо релятивистских сокращений и подобных вещей; это просто математическое добавление ). Таким путем получится новая траектория, где по оси абсцисс отложено , как показано на рисунке справа. (На рисунке изображена траектория довольно сложного движения в плоскости, но движение может происходить не только в плоскости.) Смысл приведенной процедуры состоит в том, что горизонтальное расстояние в правой части фиг. 34.2 в отличие ог левой оказывается равным не , а , т. е. . Мы нашли, таким образом, график изменения  (и ) в зависимости от ! Осталось только определить ускорение на кривой,  т. е. продифференцировать ее дважды. Отсюда окончательно заключаем: чтобы найти электрическое поле движущегося заряда, нужно взять траекторию движения и заставить двигаться каждую ее точку от точки наблюдения со скоростью ; полученная кривая дает положения  и  как функцию . Ускорение на этой кривой определит электрическое поле в зависимости от . Можно, если угодно, представить себе, что вся эта «твердая» кривая движется вперед со скоростью  сквозь плоскость зрения, так что точка пересечения с плоскостью зрения имеет координаты  и . Ускорение этой точки и определит электрическое поле! Полученное решение будет не менее точно, чем формула, из которой мы исходили, — это просто ее геометрическое представление.

Фигура 34.2. Геометрический способ определения  из уравнения (34.5.).

Если источник совершает относительно медленное движение, как, например, медленно колеблющийся вверх и вниз осциллятор, то при растягивании этого движения со скоростью света получится простая синусоидальная кривая. Отсюда можно получить формулу для поля, создаваемого осциллирующим зарядом, которую мы видели неоднократно.

Более интересный пример — это электрон, движущийся по окружности со скоростью, близкой к скорости света. Если наблюдатель находится в плоскости движения электрона, запаздывающее движение  имеет для него вид, изображенный на фиг. 34.3. Что это за кривая? Если мы представим себе радиус-вектор, проведенный из центра окружности к заряду, и если мы продолжим эти радиальные линии чуть-чуть за заряд (совсем капельку, если заряд движется быстро), то мы придем к точке, которая движется со скоростью света . Поэтому результирующее движение есть движение заряда, прикрепленного к колесу, которое катится назад (без скольжения) со скоростью ; это дает нам кривую, очень похожую на циклоиду, называется она гипоциклоидой.

Фигура 34.3. Кривая зависимости  для частицы, вращающейся по окружности с постоянной скоростью .

Когда заряд движется по окружности со скоростью, близкой к скорости света, пики па кривой становятся очень острыми, а при скорости, равной скорости света, они были бы бесконечно острыми. «Бесконечно острые» пики! Очень интересно; это значит, что вблизи такого пика вторая производная очень велика. Один раз в течение каждого периода возникает мощный и резкий импульс электрического поля. Ничего похожего в случае нерелятивистского движения не бывает, там электрическое поле в течение всего периода принимает значения примерно одного и того же порядка. Вместо этого в случае больших скоростей там возникают резкие импульсы электрического поля с интервалом времени , где  — период обращения. Это сильное электрическое поле излучается в узком конусе около направления движения заряда. Когда же заряд удаляется от точки наблюдения , производная кривой мала и излучение в направлении  очень слабое.