§ 7. Четырехвектор

Соотношения (34.17) и (34.18) обладают весьма интересным свойством: новая частота  линейно связана со старой частотой  и старым волновым числом , а новое волновое число представляется в виде комбинации старого волнового числа и частоты. Далее, волновое число есть скорость изменения фазы с расстоянием, а частота — скорость изменения фазы со временем, и сами соотношения обнаруживают глубокую аналогию с преобразованиями Лоренца для координаты и времени: если  сопоставить с , а  с , то новое  сопоставляется с , a  — с координатой . Иначе говоря, при преобразовании Лоренца  и  изменяются так же, как  и . Эти величины  и  составляют так называемый четырехвектор, Четырехкомпонентная величина, преобразующаяся как время и координаты, и есть четырехвектор. Здесь все правильно, за исключением одного — четырехвектор имеет четыре компоненты, а у нас фигурируют только две! Как уже говорилось,  и  подобны времени и одной координате пространства; для введения двух остальных координат надо изучить распространение света в трехмерном пространстве.

Пусть задана система координат  и волна движется в пространстве с волновым фронтом (фиг. 34.11). Длина волны есть  , а направление распространения волны не совпадает ни с одной осью координат. Какой вид имеет формула движения для такой волны? Ответ очевиден: это , где , a  (расстояние вдоль направления движения волны) — проекция вектора положения на направление движения. Запишем это следующим образом: пусть  есть вектор точки в пространстве, тогда  есть , где  — единичный вектор в направлении движения волны. Иначе говоря,  равно , проекции расстояния на направление движения. Следовательно, наша волна описывается формулой .

Фигура 34.11. Плоская волна, движущаяся под углом.

Оказывается очень удобным ввести вектор , называемый волновым вектором; величина его равна волновому числу , а направление совпадает с направлением распространения волны

                                   (34.19)

Благодаря введению этого вектора волна приобретает вид ,или . Выясним смысл проекций , например . Очевидно,  есть скорость изменения фазы в зависимости от координаты . Фиг 34.11 подсказывает нам, что фаза меняется с ростом  так, как если бы вдоль  бежала волна, но соответствующая ей длина волны оказывается больше по величине. «Длина волны в направлении » больше истинной на множитель, равный секансу угла  между осью  и направлением движения истинной волны:

                              (34.20)

Следовательно, скорость изменения фазы, обратно пропорциональная , в направлении  оказывается меньше на множитель ; но этот же множитель содержит и , равный модулю , умноженному на косинус угла между  и осью !

Итак, мы выяснили смысл волнового вектора, описывающего распространение волны в трехмерном пространстве. Четыре величины  преобразуются в теории относительности как четырехвектор, причем со соответствует времени, а  соответствуют  и  и компонентам четырехвектора.

Еще раньше, когда мы занимались теорией относительности (гл. 17), мы выяснили, что из четырехвекторов можно составить релятивистское штрихованное произведение. Взяв вектор положения  (где  нумерует четыре компоненты — время и три пространственные) и волновой вектор  (где  снова пробегает четыре значения), образуем штрихованное произведение  и , записываемое в виде . Это произведение инвариант, не зависящий от выбора системы координат. Согласно определению штрихованного произведения, можно записать  в следующем виде:

.        (34.21)

Поскольку  есть четырехвектор, то, как мы уже знаем,  есть инвариант по отношению к преобразованиям Лоренца. Под знак косинуса в нашей формуле для плоской волны входит именно это произведение, и оно обязано быть инвариантом относительно преобразований Лоренца. У нас не может появиться формула, у которой под знаком косинуса стоит неинвариантная величина, потому что мы знаем, что значение фазы не зависит от выбора системы координат.