§ 4. Локализованный волновой пакет

Следующий вопрос, который мы хотим обсудить, - это интерференция волн как в пространстве, так и во времени. Предположим, что в пространстве распространяются две волны. Вы, конечно, знаете, что распространение волны в пространстве, например звуковой, можно описать с помощью экспоненты . Такая экспонента удовлетворяет волновому уравнению при условии, что , где  - скорость распространения волны. В этом случае экспоненту можно записать в виде , что является частным случаем общего решения . Такая экспонента должна описывать волну, распространяющуюся со скоростью , равной , и поэтому здесь все в порядке.

Давайте теперь складывать две такие волны. Пусть первая волна распространяется с одной частотой, а вторая волна - с какой-то другой. Случай неравных амплитуд рассмотрите самостоятельно, хотя существенного отличия здесь нет. Таким образом, мы хотим сложить . Это можно сделать с помощью математики, аналогичной использованной нами при сложении двух сигналов. Если скорости с обеих волн одинаковы, то сделать это очень легко; за исключением того, что вместо  стоит , это будет то же самое, что мы недавно проделали:

.                 (48.11)

При этом, естественно, мы получаем точно такие же модуляции, как и раньше, которые, однако, движутся вместе с волной. Другими словами, если сложить две волны, которые не просто осциллируют, но и перемещаются в пространстве, то получившаяся волна также будет двигаться с той же скоростью.

Хотелось бы обобщить это на случай волн, у которых отношение между частотой и волновым числом  не столь просто, например распространение волн в веществе с некоторым показателем преломления. В гл. 31 (вып. 3) мы уже изучали показатель преломления  и выяснили, что он связан с волновым числом следующим образом: . В качестве интересного примера мы нашли показатель преломления  для рентгеновских лучей:

.                    (48.12)

На самом деле в гл. 31 мы получали и более сложные формулы, однако эта ничуть не хуже, так почему бы нам не взять ее в качестве примера.

Нам известно, что даже в том случае, когда  и  не пропорциональны друг другу, отношение  все равно будет скоростью распространения данной частоты и данного волнового числа. Это отношение называется фазовой скоростью, т. е. скоростью, с которой движется фаза или узел отдельной волны:

.                    (48.13)

Интересно, что, например, для случая распространения рентгеновских лучей в стекле эта фазовая скорость больше скорости света в пустоте [поскольку , согласно (48.12), меньше единицы], а это несколько неприятно, ведь не думаем же мы, что можно посылать сигналы быстрее скорости света!

Обсудим теперь интерференцию двух волн, у которых значения  и  связаны какой-то определенной зависимостью. Например, написанная ранее формула для показателя  говорит, что  есть определенная известная функция частоты . Для большей определенности давайте выпишем формулу зависимости  и  в данной частной задаче:

,               (48.14)

где  - постоянная. Во всяком случае, мы хотим сложить такие две волны, у которых для каждой частоты существует определенное волновое число.

Давайте сделаем это точно так же, как и при получении уравнения (48.7):

.             (48.15)

Таким образом, снова получается модулированная волна, распространяющаяся со средней частотой и средним волновым числом, однако сила ее меняется в соответствии с выражением, зависящим от разности частот и разности волновых чисел.

Рассмотрим теперь случай, когда разности между двумя волнами относительно малы. Предположим, что мы складываем две волны с приблизительно равными частотами, при этом  практически равно каждой из частот . То же можно сказать и о . Таким образом, скорость волны, быстрых осцилляций, узлов действительно остается равной . Но смотрите, скорость распространения модуляций не та же самая! Как нужно изменить , чтобы сбалансировать некоторую величину времени ? Скорость этих модулирующих волн равна

.                        (48.16)

Скорость движения модуляций иногда называют групповой скоростью. Если мы возьмем случай относительно малой разности между частотами и соответственно относительно малой разности между волновыми числами, то это выражение переходит в пределе в

.                   (48.17)

Другими словами, чем медленнее модуляции, тем медленнее и биения, и вот что самое удивительное - существует определенная скорость их распространения, которая не равна фазовой скорости волны.

Групповая скорость равна производной  по , а фазовая скорость равна отношению .

Посмотрим, можно ли понять, почему так происходит. Рассмотрим две волны с несколько различными длинами, как это показано на фиг. 48.1. Они то совпадают по фазе, то различаются, то снова совпадают и т. д. Однако теперь эти волны в действительности представляют волны в пространстве, распространяющиеся с немного различными скоростями. Но поскольку фазовая скорость, скорость узлов этих двух волн, не в точности одинакова, то происходит нечто новое. Предположим, что мы едем рядом с одной из волн и смотрим на другую. Если бы они двигались с одинаковой скоростью, то вторая волна оставалась бы относительно нас там же, где и была с самого начала, поскольку мы едем как бы на гребне одной волны и видим гребень второй прямо около себя. Однако в действительности скорости не равны. Частоты немного отличаются друг от друга, а поэтому немного отличаются и скорости. Из-за этой небольшой разницы в скоростях другая волна либо медленно обгоняет нас, либо отстает. Что же с течением времени происходит с узлом? Если чуть-чуть продвинуть одну из волн, то узел при этом уйдет на значительное расстояние вперед (или назад), т. е. сумма этих двух волн имеет какую-то огибающую, которая вместе с распространением волн скользит по ним с другой скоростью. Групповая скорость является той скоростью, с которой передаются модулирующие сигналы.

Если мы посылаем сигнал, т. е. производим какие-то изменения волны, которые могут быть услышаны и расшифрованы кем-то, то это является своего рода модуляцией, но такая модуляция при условии, что она относительно медленная, будет распространяться с групповой скоростью (быстрые модуляции значительно труднее анализировать).

Теперь мы можем показать (наконец-то!), что скорость распространения рентгеновских лучей в куске угля, например, не больше, чем скорость света, хотя фазовая скорость больше скорости света. Чтобы сделать это, нужно найти соотношение , которое мы вычислим дифференцированием формулы (48.14): . А групповая скорость равна обратной величине, т. е.

,              (43.18)

что меньше, чем ! Таким образом, хотя фазы могут бежать быстрее скорости света, модулирующие сигналы движутся медленнее, и в этом состоит разрешение кажущегося парадокса! Разумеется, в простейшем случае  групповая скорость  тоже равна , т. е. когда все фазы движутся с одинаковой скоростью, естественно, и групповая скорость будет той же самой.