§ 4. Коэффициенты Фурье

Вернемся теперь к утверждению о том, что каждую ноту, т. е. любое периодическое колебание, можно представить в виде надлежащей комбинации гармоник. Хотелось бы знать, как можно найти нужную долю каждой гармоники. Конечно, если нам даны все коэффициенты  и , то, пользуясь формулой (50.2), легко подсчитать функцию . Теперь же вопрос состоит в том, как можно найти коэффициенты при различных гармониках, если нам задана функция ? (Нетрудно испечь пирог, если есть рецепт, но как, отведав пирог, написать его рецепт?)

Фурье открыл, что на самом деле сделать это не очень трудно. Член   уж наверняка нетрудно найти. Мы говорили, что он равен среднему значению  на протяжении одного периода (от  до ). Легко увидеть, что это действительно так. Среднее значение синуса или косинуса на протяжении одного периода равно нулю. На протяжении двух, или трех, или другого целого числа периодов оно тоже равно нулю. Таким образом, среднее значение всех членов с правой стороны (50.2), за исключением только , равно нулю. (Напомним, что мы должны выбрать .)

Далее, поскольку среднее значение суммы равно сумме средних, то среднее значение функции  равно просто среднему от . Но ведь  - просто постоянная, и ее среднее значение равно ей самой. Вспоминая определение среднего, мы получаем

.                  (50.3)

Найти остальные коэффициенты ненамного труднее. Чтобы сделать это, используем один фокус, открытый самим Фурье. Предположим, что мы умножили обе стороны уравнения (50.2) на какую-то гармоническую функцию, скажем на . При этом получается

                    (50.4)

А теперь усредним обе стороны равенства. Среднее от члена  по периоду  пропорционально среднему от косинуса по семи его периодам. Но последнее просто равно нулю. Среднее почти всех остальных членов тоже будет равно нулю. Действительно, давайте рассмотрим член с . Мы знаем, что в общем случае

,             (50.5)

так что член с  равен

.                    (50.6)

Таким образом получаются два косинуса: один с восемью полными периодами, а другой с шестью. Оба они равны нулю. Поэтому среднее значение этого члена тоже равно нулю.

Для члена с  мы получаем  и , каждый из которых при усреднении превратится в нуль. Для члена с  получится  и . Но  - это то же самое, что , так что опять оба члена дадут при усреднении нуль. Ясно, что все слагаемые с косинусами, за исключением одного, дадут при усреднении нуль. Этим единственным слагаемым будет член с . Для него же мы получим

.                      (50.7)

Косинус нуля равен единице, а среднее от него, разумеется, тоже равно единице. Итак, мы получили, что среднее от всех членов с косинусами уравнения (50.4) равно .

Еще легче расправиться с синусами. Когда мы умножаем их на косинус типа , то таким же методом можно показать, что все они при усреднении обращаются в нуль.

Мы видим, что способ, придуманный Фурье, действует как своеобразное сито. Когда мы умножаем на  и усредняем, то все члены, кроме , отсеиваются и в результате остается

Среднее ,                      (50.8)

или

.                    (50.9)

Пусть читатель сам докажет, что коэффициенты , например, находятся с помощью умножения (50.2) на  и усреднения обеих частей. Результат таков:

.                     (50.10)

Но то, что верно для 7, очевидно, верно и для любого другого целого числа. Теперь мы запишем результат нашего доказательства в следующей, более элегантной математической форме. Если  и  - целые отличные от нуля числа и если , то

I.          .                     (50.11)

II.                      (50.12)

IV.       .                 (50.13)

V.        .                    (50.14)

.                    (50.15)

.                     (50.16)

В предыдущих главах для описания простого гармонического движения было удобно пользоваться экспоненциальной функцией. Вместо  мы использовали  - действительную часть экспоненциальной функции. В этой главе мы использовали синус и косинус, потому что с ними, пожалуй, немного проще проводить доказательства. Однако наш окончательный результат, уравнение (50.13), можно записать в более компактной форме:

,                        (50.17)

где  - комплексное число  (с ). Если мы всюду будем пользоваться одним и тем же обозначением, то должны также написать

.                      (50.18)

Итак, теперь мы умеем раскладывать периодическую волну на ее гармонические компоненты. Эта процедура называется разложением в ряд Фурье, а отдельные члены называются Фурье-компонентами. Однако до сих пор мы не показали, что, определив все Фурье-компоненты и затем сложив их, мы действительно придем назад к нашей функции . Математики доказали, что для широкого класса функций (в сущности, для всех функций, интересных физикам), которые можно проинтегрировать, мы снова получаем . Но есть одно небольшое исключение. Если функция  разрывна, т. е. если она неожиданно прыгает от одного значения к другому, сумма Фурье такой функции даст в точке разрыва значение, лежащее посредине между верхним и нижним значениями. Таким образом, если у нас есть странная функция  для  и  для , то ее сумма Фурье всюду даст нам правильную величину, за исключением точки , где вместо единицы получится 1/2. Во всяком случае, физически даже нельзя требовать, чтобы функция была всюду нулем вплоть до точки , а в самой точке  вдруг стала равной единице. Может быть, стоило бы специально для физиков издать такой «указ», что любая разрывная функция (которая может быть только упрощением настоящей физической функции) в точке разрыва должна принимать среднее значение. Тогда любая такая функция, с любым конечным числом «ступенек», как и все другие интересные для физики функции, будет правильно описываться рядом Фурье.

В качестве упражнения предлагаем читателю найти ряд Фурье для функции, показанной на фиг. 50.3. Поскольку эту функцию нельзя записать в точной алгебраической форме, то брать интеграл от 0 до  обычным способом невозможно. Однако если разделить его на две части: по интервалу от 0 до  [на котором функция ] и по интервалу от  до  [на котором ], то интеграл легко берется. В результате должно получиться

,                      (50.19)

где . Таким образом, оказывается, что для нашей ступенчатой волны (со специально выбранной фазой) будут только нечетные гармоники, причем их амплитуды обратно пропорциональны частотам.

Фиг. 50.3. Ступенчатая функция.

 для ,

 для .

Давайте проверим, что для некоторого значения  результат (50.19) действительно дает снова . Возьмем  или . Тогда

,             (50.20)

.                        (50.21)

Сумма этого ряда равна , а, стало быть, .