§ 5. Теорема об энергии

Энергия волны пропорциональна квадрату ее амплитуды. Для сложной волны энергия за один период пропорциональна . Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье.

Напишем

.                     (50.22)

После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа . Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, так что останутся только квадратные члены, подобные . Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен , так что получаем

.                (50.23)

Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая говорит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее Фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем

,

поскольку . Таким образом мы узнали, что сумма квадратов обратных нечетных чисел равна . Точно так же, выписав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать результат, понадобившийся нам в гл. 45, т. е. что  равно .