§ 6. Нелинейная реакция

Наконец, в теории гармоник есть одно очень важное явление, которое необходимо отметить, учитывая его практическую важность, но это уже относится к области нелинейных эффектов. Во всех рассмотренных нами до сих пор системах все предполагалось линейным; реакция на действие силы, например перемещение или ускорение, всегда была пропорциональна силам. Токи в электрической цепи были тоже пропорциональны напряжениям и т. д. Теперь мы хотим рассмотреть случаи, когда строгая пропорциональность отсутствует. Представим на минуту устройство, реакция которого  в момент  определяется внешним воздействием  в тот же момент .

Например,  может быть силой, а  - перемещением, или  - ток, а  - напряжение. Если бы устройство было линейное, то мы бы получили

,                (50.24)

где  - постоянная, не зависящая ни от , ни от . Предположим, однако, что устройство только приблизительно линейное, т. е. на самом деле нужно писать

,                    (50.25)

где  мало по сравнению с единицей. Такие линейная и нелинейная реакции показаны на фиг. 50.4.

Фиг. 50.4. Реакции.

а - линейная, ; б - нелинейная, .

Нелинейная реакция приводит к нескольким важным практическим следствиям. Некоторые из них мы сейчас обсудим. Посмотрим сначала, что получается, если пропустить через подобное устройство «чистый» тон. Пусть . Если мы построим график зависимости  от времени, то получим сплошную кривую, показанную на фиг. 50.5. Для сравнения там же проведена пунктирная кривая, представляющая реакцию линейной системы. Мы видим, что на выходе получается уже не косинусообразная функция. Она более острая в вершине и более плоская в основании. Поэтому мы говорим, что выходной сигнал искажен. Однако, как известно, такая волна не будет уже чистым тоном, а приобретает какие-то высшие гармоники. Можно найти эти гармоники. Подставляя  в уравнение (50.25), получаем

.                       (50.26)

Используя равенство , находим

.               (50.27)

Таким образом, в выходящей волне присутствует не только основная компонента, которая была во входящей волне, но и некоторая доля второй гармоники. Кроме того, в выходящей волне появился постоянный член , который соответствует сдвигу среднего значения, показанному на фиг. 50.5. Эффект возникновения сдвига среднего значения называется выпрямлением.

Фиг. 50.5. Реакция нелинейного устройства на входящий сигнал .

Для сравнения показана линейная реакция.

Нелинейное устройство будет выпрямлять и давать на выходе высшие гармоники. Хотя предположенная нами нелинейность только добавляет вторую гармонику, нелинейность высшего порядка, например  или , даст уже более высокие гармоники.

Другим результатом нелинейной реакции является модуляция. Если входящая функция содержит два (или больше) чистых тона, то на выходе получатся не только их гармоники, но и другие частотные компоненты. Пусть , причем  и  не находятся в рациональном отношении друг к другу. Тогда в дополнение к линейному члену (равному произведению  на входящую волну) на выходе мы получим

,               (50.28)

.                      (50.29)

Первые два члена в скобках уравнения (50.29) - старые знакомые. Они дают нулевую и вторую гармоники, но последний член - это уже нечто новое.

На этот новый «перекрестный член»  можно смотреть с двух сторон. Во-первых, если две частоты сильно отличаются друг от друга (например,  много больше ), то мы можем считать, что перекрестный член представляет косинусообразные колебания с переменной амплитудой. Я имею в виду такую запись:

,                  (50.30)

где

.                (50.31)

Мы говорим, что амплитуда колебаний  модулируется с частотой .

Во-вторых, этот же перекрестный член можно рассматривать с другой точки зрения:

,             (50.32)

т. е. можно сказать, что возникают две новые компоненты, одна из которых равна сумме частот , а другая – разности .

Таким образом, существуют два различных, но эквивалентных способа толкования одного и того же явления. В предельном случае  можно связать эти две различные точки зрения, заметив, что поскольку  и  близки друг к другу, то между ними должны наблюдаться биения. Но эти биения дают в результате модуляцию амплитуды колебаний со средней частотой , половинкой разности частот . Теперь вы видите, почему эти два описания эквивалентны.

Итак, мы обнаружили, что нелинейная реакция дает несколько эффектов: выпрямление, возникновение гармоник и модуляцию, т. е. возникновение компонент с суммой и разностью частот.

Обратите внимание, что все эти эффекты пропорциональны не только коэффициенту нелинейности , но и произведению амплитуд: либо , либо , либо . Поэтому мы ожидаем, что они будут более важны для сильных сигналов, чем для слабых.

Описанные нами эффекты находят множество практических приложений. Во-первых, что касается звука, то, как полагают, наше ухо - нелинейный аппарат. Такое представление возникло из того факта, что, даже когда звук содержит только чистые тоны, при большой громкости возникает ощущение, что мы слышим высшие гармоники, а также сумму и разность частот.

Аппараты, используемые обычно в звуковоспроизводящих устройствах, - усилители, громкоговорители и т. д. - всегда имеют какие-то нелинейности. Они искажают звук, порождая гармоники, которых вначале не было. Эти новые гармоники воспринимаются ухом и, несомненно, нежелательны. Именно по этой причине высокочастотная аппаратура должна быть как можно «более линейной». (Почему нелинейность нашего собственного уха не «неприятна» и откуда нам знать, что нелинейность «сидит» в громкоговорителе, а не в нашем ухе, - не ясно!)

Однако в некоторых случаях нелинейность совершенно необходима, и в некоторых частях радиопередающих и принимающих устройств она намеренно делается побольше. При радиопередачах с помощью амплитудной модуляции сигналы от «голоса» (частоты порядка нескольких килогерц) комбинируются с «несущим сигналом» (с частотой порядка нескольких мегагерц) в нелинейной цепи, которая называется модулятором. При этом получаются модулированные колебания, которые затем излучаются в эфир. В приемнике сигнал снова попадает в нелинейный контур, который складывает и вычитает частоты модулированного сигнала, выделяя снова звуковой сигнал.

Когда мы разбирали вопрос прохождения света через вещество, мы предполагали, что вынужденные колебания зарядов пропорциональны электрическому полю света, т. е. мы брали линейную реакцию. Это действительно очень хорошее приближение. Только в последние несколько лет были построены источники света (лазеры), которые дают интенсивность, достаточную для наблюдения нелинейных эффектов. Теперь можно создавать гармоники световых частот. Если пропускать через кусок стекла сильный красный свет, то выходит он оттуда с небольшой добавкой второй гармоники - голубого света!